选修4－1(A版) 高考真题集训课时作业(14) 2022年高考真题集训作业设计限时：40分钟 满分：90分一、填空题：每小题5分，共35分．1．(2022·北京)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.解析：由PD∶DB＝9∶16，设PD＝9k，DB＝16k，则PB＝PD＋DB＝25k，由切割线定理可得PA2＝PD·PB，即32＝9k×25k，解得k＝，∴PD＝9k＝，PB＝25k＝5，在Rt△PBA中，AB＝＝＝4.答案： 42．(2022·天津)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为__________．解析：∵AE与圆相切于点A，∴∠EAB＝∠ACB.又AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠EAB＝∠ABC，∴AE∥BC，又BD∥AC，即BE∥AC，∴四边形AEBC为平行四边形，6\n∴AE＝BC＝6，由AE2＝EB·ED，得BE＝4，∴AC＝4，又△ACF∽△DBF，∴＝，即＝，解得x＝.答案：3．(2022·广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝__________.解析：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝CD，∴AB＝AD＝6，又∵ED＝2，∴在Rt△ACD中，CD2＝DE·AD＝2×6，∴CD＝2，∴BC＝2.答案：24．(2022·湖南)如图，在半径为的⊙O中，弦AB,CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为__________．解析：由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD，则PC＝＝＝4，∴CD＝PC＋PD＝5.又∵r＝，CD＝5，由CD＝2，得：5＝2，解得d＝.6\n答案：5．(2022·陕西)如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.解析：如题图，∵BC∥PE，∴∠PED＝∠C，又∵∠C＝∠A，∴∠PED＝∠A，又∵∠P是公共角，∴△PDE∽△PEA，∴＝，∴PE2＝PD·PA＝2×3＝6，∴PE＝.答案：6．(2022·湖北)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则的值为__________．解析：设AD＝1，则AB＝3，BD＝2，半径R＝.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵CD⊥AB，∴CD2＝AD·BD＝1×2＝2.在Rt△COD中CD2＝CE·CO，∴2＝CE×，∴CE＝.DO2＝OE·CO，∴2＝OE×，∴＝OE×，∴OE＝，∴＝＝8.6\n答案：87．(2022·重庆)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为__________．解析：在Rt△ABC中，BC＝AB·sin60°＝10，在Rt△BCD中，∠BCD＝180°－∠C－∠ABC＝180°－90°－30°＝60°，BC＝10，∴CD＝BCcos60°＝5，BD＝BC·sin60°＝15，由切割线定理CD2＝DE·DB得DE＝＝＝5.答案：5二、解答题：第8题15分，第9题、10题各20分，共55分．8．(2022·新课标Ⅱ)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B、E、F、C四点共圆．若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．解：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCA＝90°，由∠DCB＋∠BCA＝90°，所以∠A＋∠BCA＝90°.又因为B、E、F、C四点共圆．所以∠CBA＝90°.因此CA是△ABC外接圆的直径．6\n连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.9．(2022·新课标Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．解：(1)连接DE，交BC于点G，由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE，又∵∠ABE＝∠CBE.故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE；所以DE为直径，∴∠DBE＝∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，6\n故DG是BC的中垂线，所以BG＝.又DE中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°.所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.10．(2022·辽宁)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.6
