课时作业(十二)一、选择题1．一周长为l的扇形，当面积达到最大值时，扇形的半径的( )A.B.C.D.答案 C解析 设半径为r，则弧长为l－2r.S扇＝·弧长·半径＝(l－2r)·r＝－r2＋r.令S′扇＝－2r＋＝0，得r＝.2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( )A．10B．15C．25D．50答案 C3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则其高为( )A.cmB．100cmC．20cmD.cm答案 A4．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为( )A．30海里/时B．25海里/时C．20海里/时D．10海里/时答案 C二、填空题5\n5．如图，两个工厂A、B相距0.6km，变电站C距A、B都是0.5km，计划铺设动力线，先由C沿AB的垂线至D，再与A、B相连，D点选在距AB________km处时，动力线最短．答案 解析 设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为xkm.由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5，得AE＝EB＝0.3.∴CE＝＝＝0.4.∴CD＝0.4－x.∴AD＝BD＝＝＝.∴动力线总长l＝AD＋BD＋CD＝2＋0.4－x.令l′＝2·－1＝＝0，即2x－＝0.解得x＝.(∵x＞0)当x＜时，l′＜0；当x＞时，l′＞0.∴l在x＝时有最小值．6．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为______．5\n答案 R解析 作轴截面如右图，设圆柱高为2h，则底面半径为.圆柱体体积为V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3.令V′＝0，得2πR2－6πh2＝0.∴h＝R，即当2h＝R时，圆柱体的体积最大．三、解答题7．当圆柱形金属罐的表面积为定值S时，应怎样制作，才能使其容积最大？解析 设圆柱的高为h，底面半径为R，则S＝2πRh＋2πR2，∴h＝.①∴V＝πR2h＝R(S－2πR2)＝RS－πR3.∴V′(R)＝S－3πR2.令V′(R)＝0，得S＝6πR2，代入①式中h＝＝2R.∴h＝2R时，圆柱的容积最大．8．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)解析 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋5\n＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)，f′(x)＝48－.令f′(x)＝0，得x＝15.当x>15时，f′(x)>0；当10<x<15时，f′(x)<0.因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2000(元)．答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．9．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解析 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s(＋bv)，∴所求函数及其定义域为y＝s(＋bv)，v∈(0，c]．(2)由题意s、a、b、v均为正数．由y′＝s(b－)＝0，得v＝.但v∈(0，c]．①若≤c，则当v＝时，全程运输成本y最小；②若>c，则v∈(0，c]，此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．所以当v＝c时，y最小．综上可知，为使全程运输成本y最小．当≤c时，行驶速度v＝；当>c时，行驶速度v＝c.5\n10．(2022·湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解析 设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5，x＝－(舍去)．当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．5
