课时作业(十)1．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为( )A. B.C.D.答案 A解析 ＝＝.2．某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有( )A．84种B．98种C．112种D．140种答案 D解析 由题意分析不同的邀请方法有：CC＋C＝112＋28＝140(种)．3．(2022·四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是( )A．9B．10C．18D．20答案 C解析 从1,3,5,7,9这5个数中依次选出两个数的选法有A种，lga－lgb＝lg，又∵＝，＝，∴选法有A－2＝18种，故选C.4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )A．AAB．ACC．AAD．AC答案 A解析 不相邻问题用插空法，先排学生有A种排法，老师插空有A种方法，所以共有AA种排法．5．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )7\nA．30种B．36种C．42种D．48种答案 C解析 所有的安排方法为C·C·C＝90，甲值14日的安排方法为C·C＝30，乙值16日的安排方法为C·C＝30，甲值14日，乙值16日的安排方法为C·C＝12，∴共有90－30－30＋12＝42.6．新学期开始，某校接受6名师大毕业生到校学习．学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为( )A．18B．15C．12D．9答案 D解析 先安排高三年级，从除甲、乙、丙外的3人中选2人，有C种选法；再安排高一年级，有C种方法，最后安排高二年级，有C种方法，由分步乘法计数原理，得共有CCC＝9种安排方法．7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班，选课结束后，有4名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有( )A．72种B．54种C．36种D．18种答案 B解析 依题意，就要求改修数学的4名同学实际到三个班的具体人数分类计数：第一类，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，分配方案共有C·C·A＝36(种)；第二类，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有C·C＝18(种)．因此，满足题意的不同的分配方案有36＋18＝54(种)，选B.8．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )A．60B．120C．240D．480答案 A解析 先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种．再将余下的6人平均分成两组有种．然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有C·C＝60(种)．7\n9．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为________个．答案 210解析 当个位与百位数字为0,8时，有AA；当个位与百位为1,9时，有AAA，根据分类计数原理，共有AA＋AAA＝210个．10．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．答案 1080解析 先将6位志愿者分组，共有种方法；再把各组分到不同场馆，共有A种方法．由分步乘法计数原理知，不同的分配方案共有·A＝1080(种)．11.如图所示，有五种不同颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．答案 180解析 按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)．12．某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有________种；若进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法有________种．答案 60 48解析 依题意得，某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有A＝60种(注：从六个空展台所形成的五个间隔中任选三个间隔将3件展品进行排列即可)；其中3件展品所选用的展台之间间隔超过两个展位的展出方法有2A7\n＝12种，因此要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位的不同的展出方法有60－12＝48种．13．2022年世锦赛上，中国乒乓球男队派出张济科及5名年轻队员参加比赛，团体比赛需要3名队员上场，如果最后一个出场比赛的不是张济科，那么不同的出场方式有________种．答案 100解析 若张济科不上场，则有A＝60种不同的出场方式；若张济科上场，则有CAA＝40种不同的出场方式，因此一共有100种不同的出场方式．14．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6人；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间工作．答案 (1)CCC＝13860；(2)＝5775；(3)·A＝C·C·C＝34650.解析 (3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有·A＝C·C·C＝34650种不同的分法．►重点班选做题15．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有________个．答案 32解析 因1＋10＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6＝11，选出的5个数中任何两个数的和不等于11，所以从{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}这五组数每组中选1个数．则这样的子集共有：C·C·C·C·C＝32.16．山东鲁能、上海申花、天津泰达与杭州绿城四家中国足球俱乐部参加了2022年赛季亚洲足球俱乐部冠军联赛，为了打出中国足球的精神面貌，足协想派五名官员给这四支球队做动员工作，每个俱乐部至少派一名官员，且甲、乙两名官名不能到同一家俱乐部，则不同的安排方法共有多少种(用数字作答)?答案 216解析 法一：根据题意，可根据甲、乙两人所去俱乐部的情况进行分类：(1)甲乙两人都单独去一个俱乐部，剩余三人中必有两人去同一家俱乐部，先从三人中选取两个组成一组，与其他三人组成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有CA＝3×24＝72(种)；7\n(2)甲、乙两人去的俱乐部中有一个是两个人，从其剩余三人中选取一人与甲或乙组成一组，和其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有CCA＝2×3×24＝144(种)．所以不同的安排方法一共有72＋144＝216种．法二：若甲、乙两人可以去同一家俱乐部，则先从五人中选取两人组成一组，与其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法共有CA＝10×24＝240种；而甲、乙两人去同一家俱乐部的安排方法有CA＝24种．所以甲、乙两人不能去同一家俱乐部的安排方法共有240－24＝216种．隔板法例1 求方程x1＋x2＋x3＋x4＝12的正整数解．解析 将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选3个插入3块隔板，把球分为四组(如下图1)．每一种分法所得球的数目依次为x1，x2，x3，x4.显然x1＋x2＋x3＋x4＝12，故(x1，x2，x3，x4)是方程的一组解．反之，方程的任何一组解(y1，y2，y3，y4)，对应着唯一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如下图2)．图1图2故方程的解和插入隔板的方法一一对应，即方程的解的组数等于插隔板的方法数C.探究 (1)用“隔板法”来建立组合模型是求不定方程的正整数解的有效途径，如果将本例的“正整数解”改为“自然数解”，情形又如何呢？事实上只要令yi＝xi＋1(i＝1,2,3,4)，就将“自然解”转化为方程y1＋y2＋y3＋y4＝16的正整数解，故有C组解．(2)不定方程就是未知数的个数大于方程的个数，像方程x1＋x2＋…＋xn＝m就是一个最简单的不定方程，这类问题的解法常用“隔板法”．例2 把7个大小完全相同的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放．(1)如果三个盒子完全相同，有多少种放置方法？(2)如果三个盒子各不相同，有多少种放置方法？解析 (1)∵小球的大小完全相同，三个盒子也完全相同，∴把7个小球分成三份，比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子中，不论哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种放法，因此，只需将7个小球分成如下三份即可，即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2)．共计有8种不同的放置方法．(2)设三个盒子中小球的个数分别为x1，x2，x3，显然有：x1＋x2＋x37\n＝7，于是，问题就转化为求这个不定方程的非负整数解，若令yi＝xi＋1(i＝1,2,3)由y1＋y2＋y3＝10，问题又成为求不定方程y1＋y2＋y3＝10的正整数解的组数的问题，在10个1中间9个空档中，任取两个空档作记号，即可将10分成三组，∴不定方程的解有C＝36组．1．(2022·湖南理)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A．10B．11C．12D．15答案 B2．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法．答案 103．设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )A．50种B．49种C．48种D．47种答案 B4．绍兴臭豆腐名闻天下，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗(如图)．规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，不同的吃法有( )A．6种 B．12种C．20种D．40种答案 C解析 方法一 (树形图)7\n如图所示，先吃A的情况，共有10种，如果先吃D，情况相同，所以不同的吃法有20种．方法二 依题意；本题属定序问题，所以有＝20种．7
