椭圆及其标准方程1.（2020北京交大附中东校区高二期末）已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2，0)，那么实数k=()A.3B.5C.3D.5答案：D2.若方程x2m+y22m-1=1表示椭圆，则实数m满足的条件是()A.{m|m>12且m≠1} B.{m|m>12或m<0}C.{m|m＞12}D.{m|0＜m＜12}答案：A3.（2021北京丰台高二期末）已知点P是椭圆C:x2100+y264=1上一点，M，N分别是圆(x-6)2+y2=1和圆(x+6)2+y2=4上的点，那么|PM|+|PN|的最小值为()A.15B.16C.17D.18答案：C4.（2021陕西西安长安第一中学高二期末）设P(x,y)，若x2+(y-23)2+x2+(y+23)2=8，则点P的轨迹方程为()A.x216+y24=1B.x24+y216=1C.x24-y28=1D.x28-y24=1答案：B5.（2021辽宁沈阳郊联体高二期中）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点为A(0,4)，C(0,-4)，顶点B在椭圆x29+y225=1上，则sin(A+C)sin A+sin C=()A.35B.53C.45D.54答案：C6.（2021河南郑州高二期末）设F1、F2分别是椭圆C：x225+y29=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上且满足|OP|=4，则△PF1F2的面积为()4
A.3B.33C.6D.9答案：D7.（2021山东济南高二月考）设定点F1(0,-3)、F2(0,3)，动点P满足|PF1|+|PF2|=a+9a(a＞0)，则点P的轨迹是()A.圆B.射线C.椭圆或线段D.不存在答案：C8.已知AB是过椭圆x2a2+y2b2=1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值是()A.b2B.bcC.abD.ac答案：B解析：已知S△ABF=S△AOF+S△BOF=12|OF|⋅|yA-yB|，当A、B为短轴的两个端点时，|yA-yB|最大，最大值为2b，∴△ABF面积的最大值为bc.素养提升练9.（2021辽宁抚顺高二期中）已知F1，F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=3|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的标准方程为()A.x2+3y22=1B.x23+3y22=1C.x23+y22=1D.x22+y23=1答案：A解析：由题意可得，F1(-c,0)，F2(c,0)，又AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴点A的坐标为(c,b2)，设B(x，y)，由|AF1|=3|BF1|得AF1=3F1B，∴(-c-c,-b2)=3(x+c,y)，∴B(-53c,-13b2)，代入椭圆方程得(-53c)2+(-13b2)2b2=1，∵1=b2+c2，∴b2=23，c2=13，∴x2+3y22=1.4
10.（2021吉林长春外国语学校高二月考）已知椭圆的焦点在x轴上，且过点(32,3)，焦距为25，设P为椭圆上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2=60∘，求：（1）椭圆的标准方程；（2）△PF1F2的面积.答案：（1）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，由已知得2c=25,94a2+3b2=1,a2=b2+c2,解得a=3，c=5，b=2，故椭圆的标准方程为x29+y24=1.（2）由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=6，由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|⋅|PF2|cos 60∘=20，整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=20，又|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=36，所以|PF1|×|PF2|=163，故S△PF1F2=12×|PF1||PF2|×sin 60∘=12×163×32=433.创新拓展练11.设F1，F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点，B(0,-1)为椭圆上的点.（1）若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|⋅|PF2|的最大值；（2）若C为椭圆上异于B的一点，且BF1=λCF1，求λ的值；（3）设M是该椭圆上的一个动点，求△MBF1的周长的最大值.命题分析本题考查了椭圆的标准方程、定义的应用以及转化化归思想.答题要领（1）根据椭圆定义、标准方程、基本不等式求解；（2）根据已知向量等式求出C点的坐标，然后代入椭圆方程求解；（3）根据椭圆定义求解.详细解析（1）因为椭圆的方程为x24+y2=1，所以a=2，b=1，c=3，即|F1F2|=23，又因为|PF1|+|PF2|=2a=4，所以|PF1|⋅|PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2=(42)2=4，当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”，所以|PF1|⋅|PF2|的最大值为4.（2）设C(x0,y0)，已知B(0,-1)，F1(-3,0)由BF1=λCF1得x0=3(1-λ)λ，y0=-1λ.4
又x024+y02=1，所以λ2+6λ-7=0，解得λ=-7或λ=1，因为C异于B点，所以λ=1舍去，所以λ=-7.（3）因为|MF1|+|MB|=4-|MF2|+|MB|≤4+|BF2|，所以△MBF1的周长的最大值为4+|BF2|+|BF1|=8，当且仅当M点为直线BF2与椭圆的另一个交点时，取等号，此时△MBF1的周长最大，最大值为8.解题感悟椭圆的定义是题目的隐含条件，解决椭圆问题时要注意挖掘此条件.4
