双曲线及其标准方程1.（2021北京房山高二期末）已知双曲线x2a2-y2=1(a＞0)与椭圆x28+y23=1有相同的焦点，则a=()A.6B.23C.2D.4答案：C2.（2021北京海淀首都师大附中高二期中）若双曲线E:x29-y216=1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3答案：B3.（2021山东德州高二期中）已知双曲线的实轴长为2，焦点为(-4,0)，(4,0)则该双曲线的标准方程为()A.x212-y24=1B.x24-y212=1C.x2-y215=1D.y215-x2=1答案：C4.已知点A(-1,0)，B(1,0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120∘，则该双曲线的标准方程为()A.x2-y24=1B.x2-y23=1C.x2-y22=1D.x2-y2=1答案：D5.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点为A(-5,0)、B(5,0)，点C在双曲线x216-y29=1的右支上，则sin A-sin Bsin C=()A.23B.-23C.45D.-45答案：D6.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点，点P在双曲线上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=()A.14B.35C.34D.455
答案：C7.（2021天津南开附中高二月考）已知方程x2m2+n-y23 m2-n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案：A8.P是双曲线x29-y216=1的右支上一点，M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9答案：D9.（2021江苏淮安高中校协作体高二期中）已知点P为双曲线C:x236-y264=1上的动点，点A(-10,0)，点B(10,0).若|PA|=16，则|PB|=.答案：28或4素养提升练10.（2021辽宁锦州联合校高二期中）已知双曲线C的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AF1|=2|F1B|，|AB|=|BF2|，则C的标准方程为()A.6x25-6y2=1B.7x23-7y24=1C.4x23-4y2=1D.5x23-5y24=1答案：B解析：如图，设|F1B|=n，则|AF1|=2n，|AB|=|BF2|=3n，由双曲线的定义可得|BF2|-|BF1|=2n=2a，|AF2|=2a+2n=4n，5
在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得22+(2n)2-2×2×2ncos∠AF1F2=(4n)2,22+n2-2×2×ncos∠BF1F2=(3n)2,又∠AF1F2与∠BF1F2互补，∴cos∠AF1F2+cos∠BF1F2=0，两式消去cos∠AF1F2，cos∠BF1F2，可得-28n2+12=0，所以a2=n2=37，b2=c2-a2=47，所以双曲线的标准方程为7x23-7y24=1.11.（2021辽宁盘锦第二高级中学高二期中）已知P是双曲线x216a2-y29a2=1(a＞0)上的点，F1、F2是其左、右焦点，且PF1⋅PF2=0，若△PF1F2的面积为9，则a等于()A.2B.1C.3D.4答案：B解析：由PF1⋅PF2=0得PF1⊥PF2，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(216a2+9a2)2=100a2，由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8a，∴64a2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=100a2-2|PF1|⋅|PF2|，∴|PF1||PF2|=18a2，则△PF1F2的面积为12|PF1|⋅|PF2|=9a2=9，∵a>0，∴a=1.12.已知双曲线x2m-y27=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为()A.8B.9C.16D.20答案：B解析：△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=20，∵|AB|=4，∴|AF2|+|BF2|=16.根据双曲线的定义知，2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|，∴4a=(|AF2|+|BF2|)-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12，∴a=3，∴m=a2=9.5
13.已知A、B两地相距2000 m，在A地听到炮弹的爆炸声比在B地晚4 s，且声速为340 m/s，则炮弹爆炸点的轨迹方程为.答案：x2462400-y2537600=1(x≥680)解析：建立平面直角坐标系，使A、B两点在x轴上，且坐标原点O与线段AB的中点重合，如图，设爆炸点P的坐标为(x,y)，则|PA|-|PB|=340×4=1360＜2000，即2a=1360，∴a=680，又|AB|=2000，∴2c=2000，c=1000，即b2=c2-a2=537600，∴炮弹爆炸点的轨迹（双曲线的一支）方程为x2462400-y2537600=1(x≥680).创新拓展练14.已知椭圆x2a12+y2b12=1(a1＞b1＞0)与双曲线x2a22-y2b22=1(a2＞0,b2＞0)有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个交点.（1）试用b1,b2表示△F1PF2的面积；（2）当b1+b2=m(m＞0)是常数时，求△F1PF2面积的最大值.命题分析本题考查了椭圆、双曲线的定义、三角形面积的计算、基本不等式的运用以及运算求解能力.答题要领（1）找出△F1PF2的三边，利用余弦定理求角的余弦值，进而得正弦值，然后代入三角形面积公式求解.（2）根据（1）中的结论，利用基本不等式求解.详细解析（1）如图所示，设∠F1PF2=θ.因为|F1F2|=2c，则a12-b12=a22+b22=c2，即a12-a22=b12+b22.由椭圆、双曲线的定义，得|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|-|PF2|=2a2（令|PF1|＞|PF2|），5
所以|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，所以cosθ=|PF1|2+|PF2|2-4c22|PF1|⋅|PF2|=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a12-b12)-2(a22+b22)2(a12-a22)=b12-b22a12-a22=b12-b22b12+b22,所以sinθ=2b1b2b12+b22.所以S△F1PF2=12|PF1|⋅|PF2|⋅sinθ=12(a12-a22)⋅2b1b2b12+b22=b1b2.（2）当b1+b2=m(m＞0)为常数时，S△F1PF2=b1b2≤(b1+b22)2=m24，当且仅当b1=b2=m2时，取等号，所以△F1PF2面积的最大值为m24.解题感悟双曲线的定义是解决与双曲线有关问题的主要依据，在应用时要注意整体代换思想的应用.5
