3.1.5 空间向量的数量积一、基础过关1．“a·b<0”是〈a，b〉为钝角的______________条件．2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.3．设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离CM的值为________．4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x＝________.6．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为________．7．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·z＝－18的向量z＝________.二、能力提升8．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________.9．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a和b的夹角是________．10．单位向量a＝(x，y,0)与向量c＝(1,1,1)的夹角为，求x＋y与xy的值．11．如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：C1C⊥BD.12．已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，求〈，〉．三、探究与拓展13．如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD′⊥α于D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝BD＝b，求CD的长．-3-\n答案1．必要不充分2．3．4．60° 5．－4 6．7．(－4,2，－4) 8．120° 9．60°10．解 ∵a与c的夹角为.∴cos＝＝＝.化简得x＋y＝·.①又|a|2＝x2＋y2＝1，②将②代入①，得x＋y＝，从而(x＋y)2＝，∴xy＝.11．证明 设＝a，＝b，＝c，依题意，|a|＝|b|，又设，，中两两所成夹角为θ，于是＝－＝a－b，·＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c||a|cosθ－|c||b|cosθ＝0，所以C1C⊥BD.12．解 建立如图所示的空间直角坐标系．由于AB＝，SA＝，可以求得SO＝.则B，A，C，S.由于E为SA的中点，所以E，所以＝，-3-\n＝，因为·＝－1，||＝，||＝，所以cos〈，〉＝＝－，所以〈，〉＝120°.13．解 由AC⊥α，可知AC⊥AB.由∠DBD′＝30°，可知〈，〉＝60°，∵||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝b2＋a2＋b2＋2(0＋b2cos60°＋0)＝a2＋3b2，∴||＝，即CD＝.-3-
