§3.2 空间向量的应用3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量一、基础过关1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝______；y＝__________________________________________________________________.2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝_____.3．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m＝________.4．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为___．5．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则直线l与平面α的位置关系为________．6．已知直线l1的方向向量为a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是______．7．若a＝(1，－1,1)，b＝(2，－1，－3)，则与a，b都垂直的单位向量为________________________________________________________________________．二、能力提升8．在正方体ABCD——A1B1C1D1中，以D为原点，建立空间直角坐标系如图所示，E、F分别为BB1和A1D1的中点，则平面AEF的一个法向量是______________________．9．已知直线l的方向向量u＝(2，－1,3)，且l经过点A(0，y,3)和B(－1,2，z)，则y＝______，z＝________________________________________________________________.10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．11．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，(1)试求平面α的一个法向量；(2)若M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y，z的关系式．12．-5-\n如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2AC＝AB，∠BAC＝90°，D是CC1的中点，试求平面AB1D的一个法向量．三、探究与拓展13．如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC—A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求与夹角的余弦值；(3)求证：是平面C1MN的一个法向量．-5-\n答案1．6 2．4 3．－84．(18,17，－17) 5．l⊥α 6．1或－37．或8．(4，－1,2)(不唯一) 9． 10．证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，A1(1,0,1)，＝，＝，＝(－1,0,0)．∵·＝·＝－＝0，·＝0，∴⊥，⊥.又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F，∴是平面A1D1F的法向量．11．解 (1)∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．依题意，应有n·＝0，n·＝0.即，解得.令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．(2)∵＝(x－1，y－2，z－3)，-5-\n∴n·＝0.∴2(x－1)＋(y－2)＝0，即2x＋y－4＝0.12．解 方法一 不妨设AC＝1，以A点为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A—xyz.则A(0,0,0)，D(1,0,1)，B1(0,2,2)．则＝(1,0,1)，＝(0,2,2)．设n＝(x，y，z)是平面AB1D的法向量，则，∴，得.令z＝1，得平面AB1D的一个法向量为n＝(－1，－1,1)．方法二 由＝(1,0,1)，可设平面AB1D的一个法向量为n＝(－1，y,1)．由n·＝0，得2y＋2＝0，∴y＝－1.∴平面ABD的一个法向量为(－1，－1，1)．13．(1)解 如图所示，以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C—xyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴||＝＝，∴线段BN的长为.(2)解 依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又||＝，||＝，∴cos〈，〉-5-\n＝＝.(3)证明 依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B1(0,1,2)，N(1,0,1)．∴M，＝，＝(1,0，－1)，＝(1，－1,1)，∴·＝×1＋×(－1)＋1×0＝0，·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴⊥，⊥，又C1M∩C1N＝C1，∴⊥平面C1MN.∴是平面C1MN的一个法向量．-5-
