第15讲 点、直线、平面之间的位置关系1.设l、m表示直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案：必要不充分2.过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．答案：43.若l1、l2、l3是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的有________．(填序号)①l1⊥l2，l2⊥l3l1∥l3；②l1⊥l2，l2∥l3l1⊥l3；③l1∥l2∥l3l1，l2，l3共面；④l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面．答案：②解析：由l1⊥l2，l2∥l3，根据异面直线所成角知l1与l3所成角为90°.4.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥BACC1D的体积为__________．答案：25.用a、b、c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中正确的有________．(填序号)答案：①④6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．答案：π7.已知点P、A、B、C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60°角，PA＝PB＝PC＝1cm，则球的表面积为________cm2.答案：解析：如图所示，P、A、B、C四点可以看成如图正方体的四个顶点，则三棱锥PABC的外接球就是该正方体的外接球，易得正方体的边长a＝，球的半径R＝＝，∴S球＝4πR2＝.8.已知平面α、β、γ，直线l、m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________．(填序号)答案：②④-7-\n解析：②：l⊥α；④：α⊥β.9.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为____________cm.答案：210.在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α、β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α、β、γ，则有____________．答案：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2解析：设长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为a，b，c，则cos2α＝，cos2β＝，cos2γ＝，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.11.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．(1)若PF＝FC，求证：PA∥平面BDF；(2)若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC.证明：(1)设AC、BD的交点为O，连结OF.∵底面ABCD为菱形，∴O为AC中点．又PF＝FC，∴PA∥OF.又PA平面BDF，OF平面BDF，∴PA∥平面BDF.(2)∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∵BF⊥PC，∴PC⊥平面BDF.又PC平面PBC，∴平面BDF⊥平面PBC.12.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点．(1)求证：BD⊥EF；(2)若EF∥平面PBD，求的值．(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD.又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.又EF平面PAC，所以BD⊥EF.(2)解：设AC与BD交于O，连结PO.-7-\n因为EF∥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，且EF平面PAC，则EF∥PO.又E是PC中点，所以OF＝FC，所以AF＝3FC，即＝3.13.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E、F分别是A1C1、BC的中点．(1)证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；(2)证明：C1F∥平面ABE；(3)设P是BE的中点，求三棱锥PB1C1F的体积．(1)证明：在△ABC中，∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，∴AB＝2，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC.又已知AB⊥BB1，∴AB⊥平面BB1C1C.又AB平面AEB，故平面AEB⊥平面BB1C1C.(2)证明：取AC的中点M，连结C1M，FM.在△ABC中，FM∥AB.而FM平面ABE，∴直线FM∥平面ABE.在矩形ACC1A1中，E、M都是中点，∴C1M∥AE.而C1M平面ABE，∴直线C1M∥平面ABE.又C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面FMC1，故C1F∥平面AEB.(也可取AB的中点G，连结FG、EG，证明C1F∥EG，从而得证)(3)解：取B1C1的中点H，连结EH，则EH∥AB且EH＝AB＝.由(1)知AB⊥平面BB1C1C，∴EH⊥平面BB1C1C.∵P是BE的中点，∴VPB1C1F＝VEB1C1F＝×S△B1C1F·EH＝.滚动练习(五)1.若集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝cos(πx)，x∈A}，则A∩B＝______________．答案：{－1，1}2.函数y＝loga(x－3)(a>0，a≠1)在(a，＋∞)上单调增，则a的取值范围是________.答案：[3，＋∞)解析：函数定义域为(3，＋∞)，y＝x－3在(3，＋∞)上单调增，∴a＞1且(a，＋∞)(3，＋∞)，∴a≥3.3.方程sinx＋cosx＋a＝0在(0，2π)内有相异两解α、β，则α＋β＝__________.答案：，4.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图所成扇形的圆心角大小为________．答案：π解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则πrl＝2πr2，-7-\n圆锥的侧面展开图扇形的圆心角θ＝＝π.5.已知a＞0，x、y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________．答案：6.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝__________．答案：7.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列四个命题中，正确的是________.(填序号)①α∥γ；②α⊥β；③m∥α；④n∥β.答案：①②④8.已知直线kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A、B两点，若点M在圆C上，且有＝＋(O为坐标原点)，则实数k＝____________．答案：09.设m∈R，已知函数f(x)＝－x3－2mx2＋(1－2m)x＋3m－2，若曲线y＝f(x)在x＝0处的切线恒过定点P，则点P的坐标为______________．答案：解析：本题考查利用导数求切线方程以及直线恒过定点问题．f′(x)＝－3x2－4mx＋1－2m，f′(0)＝1－2m，f(0)＝3m－2，则切线方程为m(2x－3)－x＋y＋2＝0.10.平面内两个非零向量α、β，满足|β|＝1，且α与β－α夹角为135°，则|α|的取值范围是__________.答案：(0，]11.若a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b的最小值为____________．答案：解析：＋＝1得＝，a＝，a＋2b＝＋2b＝＋＋≥＋2＝＋，当且仅当＝，即b＝时取等号．12.已知函数f(x)＝若a>b≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是______________．答案：-7-\n解析：画出函数f(x)的图象，≤b<1，1≤a<log2，f(a)＝f(b)，2a＋＝b＋2，2a＝b＋，bf(a)＝b＝b(b＋2)，在上单调增，bf(a)∈.13.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.向量m＝(1，cosB)，n＝(sinB，－)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若△ABC面积为10，b＝7，求此三角形周长．解：(1)m·n＝sinB－cosB，∵m⊥n，∴m·n＝0，∴sinB－cosB＝0.∵△ABC为锐角三角形，∴cosB≠0，∴tanB＝.∵0<B<，∴B＝.(2)∵S△ABC＝acsinB＝ac，由题设ac＝10，得ac＝40.由72＝a2＋c2－2accosB，得49＝a2＋c2－ac，∴(a＋c)2＝(a2＋c2－ac)＋3ac＝49＋120＝169，故a＋c＝13，∴三角形周长是20.14.如图，在三棱锥ABCD中，BC＝3，BD＝4，CD＝5，AD⊥BC，E、F分别是棱AB、CD的中点，连结CE，G为CE上一点．(1)求证：平面CBD⊥平面ABD；(2)若GF∥平面ABD，求的值．(1)证明：在△BCD中，BC＝3，BD＝4，CD＝5，∴BC⊥BD.∵BC⊥AD，BD∩AD＝D，∴BC⊥平面ABD.∵BC平面BCD，∴平面CBD⊥平面ABD.(2)解：∵GF∥平面ABD，FG平面CED，平面CED∩平面ABD＝DE，∴GF∥ED，∴G为线段CE的中点，∴＝1.15.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(2，0)，点P-7-\n在椭圆上(e为椭圆的离心率)．(1)求椭圆的方程；(2)若点B、C(C在第一象限)都在椭圆上，满足＝λ，且·＝0，求实数λ的值．解：(1)由条件，知a＝2，e＝，将点P代入椭圆方程，得＋＝1.∵b2＋c2＝4，∴b2＝1，c2＝3.∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y＝kx，代入椭圆方程＋y2＝1，即x2＋4y2＝4，得(1＋4k2)x2＝4，∴xC＝.故C.又直线AB方程为y＝k(x－2)，代入椭圆方程x2＋4y2＝4，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0.∵xA＝2，∴xB＝，则B.∵·＝0，∴·＋·＝0.∴k2＝.∵C在第一象限，∴k>0，k＝.∵＝，＝＝，由＝λ，得λ＝.∵k＝，∴λ＝.16.已知数列{an}的前n项和为Sn，点在直线y＝x＋上．数列{bn}满足：bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，且b3＝11，前9项和为153.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＜对一切(n∈N*)都成立的最小正整数k的值；-7-\n(3)设n∈N*，f(n)＝问是否存在m∈N*，使得f(m＋15)＝5f(m)成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵点在直线y＝x＋上，∴＝n＋，即Sn＝n2＋n，∴an＝n＋5.∵bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，∴bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn＝…＝b2－b1.∴数列{bn}是等差数列．∵b3＝11，它的前9项和为153，设公差为d，则b1＋2d＝11，9b1＋×d＝153，解得b1＝5，d＝3.∴bn＝3n＋2.(2)由(1)得cn＝＝＝，∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…cn＝＋＋＋…＋＝.∵Tn＝在n∈N*上是单调递增的，∴Tn＜，∵不等式Tn＜对一切n∈N*都成立，∴≥，则k≥，又k∈N*，∴k≥29.∴最小的正整数k的值为29.(3)n∈N*，f(n)＝＝当m为奇数时，m＋15为偶数；当m为偶数时，m＋15为奇数．若f(m＋15)＝5f(m)成立，则有3(m＋15)＋2＝5(m＋5)(m为奇数)或m＋15＋5＝5(3m＋2)(m为偶数)，解得m＝11或m＝(舍)．∴当m＝11时，f(m＋15)＝5f(m)成立．-7-
