考点规范练9 幂函数与二次函数一、非标准1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f(4)的值为( )A.16B.C.D.22.设<1,则下列不等关系成立的是( )A.aa<ab<baB.aa<ba<abC.ab<aa<baD.ab<ba<aa3.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么( )A.f(-2)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(-2)<f(2)C.f(2)<f(0)<f(-2)D.f(0)<f(2)<f(-2)4.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若a=c,则函数f(x)的图象不可能是( )5.若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于( )A.-B.-C.cD.6.已知函数h(x)=4x2-kx-8在上是单调函数,则k的取值范围是( )A.(-∞,40]B.∪上有最大值4,则实数a的值为 . 9.若y=是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,求整数a的值.10.求函数y=x2-2ax-1在x∈时的值域.11.(2022浙江绍兴模拟)若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈恒成立,则a的最小值是( )A.0B.2C.-D.-312.设f(x)与g(x)是定义在同一区间上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在上是“关联函数”,区间称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在上是“关联函数”,则m的取值范围为 . 13.已知函数f(x)=-x2+ax+在区间上的最大值为2,求a的值.14.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出其单调区间;(2)在(1)的条件下,若f(x)>x+k在区间上恒成立,试求k的取值范围.##\n一、非标准1.C 解析:由已知,得=2α,即2α=,∴α=-,∴f(x)=.∴f(4)=.2.C 解析:由<1得1>b>a>0,y=ax(0<a<1)在定义域内是单调递减的,则aa>ab,y=xn(n>0)在(0,+∞)内是单调递增的,又a<b,则aa<ba,即ab<aa<ba.3.D 解析:由f(1+x)=f(-x)可知,函数图象的对称轴为x=,即-,所以b=-1,则f(x)=x2-x+c,结合函数图象可知f(0)<f(2)<f(-2),故选D.4.D 解析:由A,B,C,D四个选项知,图象与x轴均有交点,记两个交点的横坐标分别为x1,x2,若只有一个交点,则x1=x2.由于a=c,所以x1x2==1,比较四个选项,可知选项D中x1<-1,x2<-1,所以D不满足.5.C 解析:由已知f(x1)=f(x2),且f(x)的图象关于x=-对称,则x1+x2=-,故f(x1+x2)=f=a·-b·+c=c.选C.6.C 解析:函数h(x)图象的对称轴为x=,要使h(x)在上是单调函数,应有≤5或≥20,即k≤40或k≥160,故选C.7. 解析:依题意设f(x)=xα(α∈R),则有=3,即2α=3,得α=log23,则f(x)=,于是f.8.或-3 解析:f(x)图象的对称轴为x=-1.当a>0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,f(-3)=3a+1.∴f(2)>f(-3),即f(x)max=f(2)=8a+1=4.∴a=.当a<0时,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4,∴a=-3.综上所述,a=或a=-3.9.解:由题意,得a2-4a-9应为负偶数,即a2-4a-9=(a-2)2-13=-2k(k∈N+),(a-2)2=13-2k,当k=2时,a=5或-1;当k=6时,a=3或1.综上,整数a的值为-1或1或3或5.10.解:由已知可得,函数y图象的对称轴为x=a.①当a<0时,ymin=f(0)=-1,ymax=f(2)=4-4a-1=3-4a.所以函数的值域为.②当0≤a≤1时,ymin=f(a)=-a2-1,ymax=f(2)=3-4a,所以函数的值域为.③当1<a≤2时,ymin=f(a)=-a2-1,ymax=f(0)=-1,所以函数的值域为.④当a>2时,ymin=f(2)=3-4a,ymax=f(0)=-1.所以函数的值域为.11.C 解析:由x2+ax+1≥0得a≥-在x∈上恒成立.\n令g(x)=-,则g(x)在上为增函数,所以g(x)max=g=-,所以a≥-.12. 解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在上有两个不同的零点.在同一坐标系中作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈)的图象,如图所示.结合图象可知,当x∈时,y=x2-5x+4∈,故当m∈时,函数y=m与y=x2-5x+4(x∈)的图象有两个交点.所以m的取值范围是.13.解:f(x)=-.①当∈,即0≤a≤2时,f(x)max==2,则a=3或a=-2,不合题意.②当>1,即a>2时,f(x)max=f(1)=2⇒a=.③当<0,即a<0时,f(x)max=f(0)=2⇒a=-6.综上,f(x)在区间上的最大值为2时,a=或a=-6.14.解:(1)由题意有f(-1)=a-b+1=0,且-=-1,所以a=1,b=2.所以f(x)=x2+2x+1,其单调减区间为(-∞,-1],单调增区间为上恒成立,可转化为x2+x+1>k在上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x∈,则g(x)在上单调递减.所以g(x)min=g(-1)=1.所以k<1,即k的取值范围为(-∞,1).
