考点规范练34 均值不等式及其应用一、非标准1.已知a>0,且b>0,若2a+b=4,则的最小值为( ) A.B.4C.D.22.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( )A.3B.4C.5D.63.(2022浙江十校联考)若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是( )A.B.C.2D.4.(2022重庆,文9)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是( )A.6+2B.7+2C.6+4D.7+45.已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=( )A.-3B.2C.3D.86.若两个正实数x,y满足=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪(4,+∞)B.(-∞,-4)∪恒成立,则a的取值范围是( )A.B.C.D.12.已知α,β∈,满足tan(α+β)=4tanβ,则tanα的最大值是( )A.B.C.D.13.(2022福建,文9)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元14.(2022浙江杭州模拟)若正数x,y满足2x+y-3=0,则的最小值为 . 15.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.求:(1)u=lgx+lgy的最大值;(2)的最小值.16.(2022山东潍坊模拟)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1450(单元:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?\n##一、非标准1.C 解析:由题中条件知,≥2,当且仅当a=1,b=2时,等号成立,故≥4·,即.2.B 解析:由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).3.C 解析:由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时,等号成立),则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.4.D 解析:由log4(3a+4b)=log2,得log2(3a+4b)=log2(ab),所以3a+4b=ab,即=1.所以a+b=(a+b)+7≥4+7,当且仅当,即a=2+4,b=3+2时取等号.故选D.5.C 解析:y=x-4+=x+1+-5,因为x>-1,得x+1>0,>0,所以由均值不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,所以a=2,b=1,a+b=3.6.D 解析:x+2y=(x+2y)=2++2≥8,当且仅当,即4y2=x2时,等号成立.x+2y>m2+2m恒成立,则m2+2m<8,m2+2m-8<0,解得-4<m<2,故选D.7.1 解析:∵x>0,∴f(x)==1,当且仅当x=,即x=1时,等号成立.8.乙 解析:设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a.由于(1+p%)(1+q%)<=,故提价多的是方案乙.9.证明:因为a,b均为正实数,所以≥2,当且仅当,即a=b时,等号成立,又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时,等号成立,所以+ab≥+ab≥2,当且仅当即a=b=时,等号成立.10.解:(1)由题意知,当m=0时,x=1,则1=3-k,解得k=2,则x=3-,每件产品的销售价格为1.5×(元),故2022年的利润y=1.5x×-8-16x-m=-+29(m≥0).\n(2)∵m≥0时,+(m+1)≥2=8(当且仅当(m+1)2=16,即m=3时,等号成立),∴y≤-8+29=21,∴当m=3时,ymax=21.故当该厂家2022年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元.11.C 解析:∵x∈(0,2],∴a2-a≥.要使a2-a≥在x∈(0,2]时恒成立,则a2-a≥.由均值不等式得x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即.则a2-a≥,解得a≤或a≥.12.B 解析:由tan(α+β)=4tanβ,得=4tanβ,解得tanα=.因为β∈,所以tanβ>0,所以tanα=,当且仅当=4tanβ,即tanβ=时,等号成立,所以tanα的最大值是.13.C 解析:设容器的底长x米,宽y米,则xy=4.所以y=,则总造价为:f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80++20x=20+80,x∈(0,+∞).所以f(x)≥20×2+80=160,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以最低总造价是160元.故选C.14.3 解析:由已知可得2x+y=3,因此==,利用均值不等式可得≥=3,当且仅当,即x=y=1时,等号成立.15.解:(1)∵x>0,y>0,∴由均值不等式,得2x+5y≥2.∵2x+5y=20,∴2≤20,xy≤10.当且仅当2x=5y时,等号成立.因此有解得此时xy有最大值10.∵u=lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1,∴当x=5,y=2时,u=lgx+lgy有最大值1.(2)∵x>0,y>0,∴=\n≥=,当且仅当时,等号成立.由解得则的最小值为.16.解:(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1000x万元,依题意得:当0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250.当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-+1450-250=1200-.则L(x)=(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950.此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x≥80时,L(x)=1200-≤1200-2=1200-200=1000.当且仅当x=时,即x=100时,L(x)取得最大值1000.因为950<1000,所以当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.
