【师说系列】2022届高考数学一轮练之乐1.3.8正弦定理、余弦定理应用举例文一、选择题1．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为( )A. B．2 C.或2 D．3解析：如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由正弦定理＝，得∠CAB＝60°或120°，当∠CAB＝60°时，∠ACB＝90°，AB＝2；当∠CAB＝120°时，∠ACB＝30°，AB＝，故选C.答案：C2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )A．5海里 B．5海里C．10海里D．10海里解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(海里/小时)．答案：C3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．akmB.akmC.akmD．2akm5\n解析：利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.答案：B4．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米答案：C5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得它在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A．20(＋)海里/小时B．20(－)海里/小时C．20(＋)海里/小时D．20(－)海里/小时答案：B6．(2022·重庆冲刺)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点的测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A．50m B．100m C．120m D．150m答案：A二、填空题7．(2022·潍坊质检)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为__________km.答案：－18．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该形的半径为__________米．答案：509．(2022·沧州联考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以__________(米/秒)的速度匀速升旗．5\n答案：0.6三、解答题10．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了多少海里？解析：如图，设甲船取北偏东θ角去追赶乙，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是v，由于甲、乙两船到C的时间相等．都为t，则BC＝vt，AC＝vt，∠ABC＝120°.由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋vat，∴2v2t2－vat－a2＝0，∴t1＝，t2＝－(舍去)，∴BC＝a，∴∠CAB＝30°，∴θ＝60°－∠CAB＝30°，∴甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，在乙船行驶a海里处相遇．11．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD、DC，且拐弯处的转角为120°，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到了A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)．解析：方法一：设该扇形的半径为r米．由题意，得CD＝500(米)，DA＝300(米)，∠CDO＝60°.在△CDO中，CD2＋OD2－2·CD·OD·cos60°＝OC2，即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)×＝r2，解得r＝≈445(米)．答：该扇形的半径OA的长约为445米．方法二：连结AC，作OH⊥AC，交AC于H.5\n由题意，得CD＝500(米)，AD＝300(米)，∠CDA＝120°.在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2·CD·AD·cos120°＝5002＋3002＋2×500×300×＝7002.∴AC＝700(米)，cos∠CAD＝＝.在直角△HAO中，AH＝350(米)，cos∠HAO＝，∴OA＝＝≈445(米)．答：该扇形的半径OA的长约为445米．12．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇的航行距离为S海里．如图所示，在△AOB中应用余弦定理得，S＝＝＝.故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化简得：v2＝－＋900＝4002＋675.由于0＜t≤，即≥2，所以当＝2时，v取得最小值105\n，即小艇航行速度的最小值为10海里/小时．(3)由(2)知v2＝－＋900，设＝u(u＞0)，于是400u2－600u＋900－v2＝0.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即：，解得15＜v＜30.所以v的取值范围是(15，30)．5
