【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学3.7正弦定理与余弦定理练习一、选择题1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC一定是( )A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得2··＝，整理得a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC一定是等腰三角形．方法二：∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴由已知得sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B.∴△ABC为等腰三角形．答案：B2．满足A＝45°，c＝，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为( )A．4B．2C．1D．不确定解析：由正弦定理＝，得sinC＝＝＝.∵c＞a，∴C＞A＝45°，∴C＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.答案：A3．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确解析：由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC，又0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，故A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形，故答案为B.答案：B4．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )A. B. C. D.4\n解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，∴AC＝3.由正弦定理得＝＝.答案：D5．若△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.B.C.或D.或解析：∵＝，∴sinC＝.∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝××1×sin30°＝.答案：D6．若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是( )A．5 B．6C．7 D．8解析：依题意及面积公式S＝bcsinA，得10＝bcsin60°，得bc＝40.又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.故答案为C.答案：C二、填空题7．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C＝__________.解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴cosC＝＝＝.又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.答案：60°8．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面积为，则tanC为__________．解析：由S△ABC＝BC·BAsinB＝得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcosB，∴AC＝，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，∴tanC＝＝.答案：9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝(a2＋b2－c2)，则C＝__________.解析：由S＝(a2＋b2－c2)得absinC＝·2abcosC.∴tanC＝1.∴C＝.4\n答案：三、解答题10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．(1)求证：A＝2B；(2)若a＝b，判断△ABC的形状．解析：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，所以在△ABC中，由余弦定理可得，cosB＝＝＝＝＝＝，所以sinA＝sin2B，故A＝2B.(2)因为a＝b，所以＝，由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，cosB＝＝＝所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC为直角三角形．11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝3.(1)求cosC；(2)若·＝，且a＋b＝9，求c.解析：(1)∵tanC＝3，∴＝3，又∵sin2C＋cos2C＝1解得cosC＝±.∵tanC＞0，∴C是锐角．∴cosC＝.(2)∵·＝，∴abcosC＝，∴ab＝20.又∵a＋b＝9，∴a2＋2ab＋b2＝81.∴a2＋b2＝41.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.∴c＝6.12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.(1)求sinC的值；(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．解析：(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，4\n∴sin＝2sin2.由sin≠0，得2cos＋1＝2sin，∴sin－cos＝.两边平方，得1－sinC＝，∴sinC＝.(2)由sin－cos＝＞0，得＜＜，即＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－.由a2＋b2＝4(a＋b)－8得(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2bccosC＝8＋2，所以c＝＋1.4
