【师说系列】2022届高考数学一轮练之乐1.3.5三角函数的图象和性质文一、选择题1．函数f(x)＝lg(sin2x＋cos2x－1)的定义域是( )A.B.C.D.解析：由sin2x＋cos2x－1＞0，得sin＞.即2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋(k∈Z)，∴kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)．答案：A2．函数y＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别为( )A．π，1 B．π，C．2π，1D．2π，解析：y＝sin＋cos＝cos2x∴最小正周期T＝＝π，最大值为1.故选A.答案：A3．已知函数y＝tanωx在内是减函数，则( )A．0＜ω≤1B．－1≤ω＜0C．ω≥1D．ω≤－1解析：由已知条件ω＜0，又≥π，∴－1≤ω＜0.答案：B4．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )A．0B．16\nC．－1D.解析：由于相邻的两支截直线y＝所得的线段长为，所以该函数的周期T＝＝，因此ω＝4，函数解析式为f(x)＝tan4x，所以f＝tan＝tanπ＝0.答案：A5．函数y＝2sin(x∈[0，π])为增函数的区间是( )A.B.C.D.解析：∵y＝2sin＝－2sin，∴y＝2sin的递增区间实际上是u＝2sin的递减区间，即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解上式得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．令k＝0，得≤x≤.又∵x∈[0，π]，∴≤x≤π.即函数y＝2sin(x∈[0，π])的增区间为.答案：C6．以下三个命题：①任意α∈R，在[α，α＋π]上函数y＝sinx都能取到最大值1；②若存在α∈R且α≠0，f(x＋α)＝－f(x)对任意x∈R成立，则f(x)为周期函数；③存在x∈，使sinx＜cosx.其中正确命题的个数为( )A．0B．1C．2D．3解析：对于①：∵[α，α＋π]该区间长度为y＝sinx的半个周期．∴y＝sinx在[α，α＋π]上不一定取到最大值1.故①错．对于②：是正确的．对于③：画图观察易得③是错误的．综上可知应选B.6\n答案：B二、填空题7．若f(x)＝x|sinx＋a|＋b(x∈R)是奇函数，则a2＋b2＝__________.解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴－x|－sinx＋a|＋b＋x|sinx＋a|＋b＝0，∵x∈R，∴a＝0，b＝0，a2＋b2＝0.答案：08．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，则f(x)的值域是__________．解析：当sinx≥cosx时，f(x)＝cosx，当sinx＜cosx时，f(x)＝sinx，∴f(x)＝图象如图实线表示，所以值域为.答案：9．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,4]时，f(x)＝x－2，则有下面三个式子：①f＜f②f＜f；③f(sin1)＜f(cos1)其中一定成立的是__________．解析：由f(x)＝f(x＋2)知T＝2为f(x)的一个周期，设x∈[－1,0]知x＋4∈[3,4]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4－2＝x＋2.图象如图：对于①：sin＜cos⇒f＞f.对于②：sin＞cos⇒f＜f.对于③：sin1＞cos1⇒f(sin1)＜f(cos1)．故应填②③.答案：②③三、解答题6\n10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx.(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图；(3)求当f(x)≥时，x的取值范围．解析：(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．而当x∈时，f(x)＝sinx.∴当x∈时，－x∈.∴f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.又当x∈时，x＋π∈，∵f(x)的周期为π，∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx.∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx.(2)如图．(3)由于f(x)的最小正周期为π，因此先在[－π，0]上来研究f(x)≥，即－sinx≥，∴sinx≤－，∴－≤x≤－.由周期性知，当x∈，k∈Z时，f(x)≥.11．已知函数f(x)＝2sin2－cos2x，x∈.(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式|f(x)－m|＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)∵f(x)＝－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝1＋2sin.又∵x∈，6\n∴≤2x－≤，即2≤1＋2sin≤3，∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.(2)∵|f(x)－m|＜2⇔f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈，∴m＞f(x)max－2且m＜f(x)min＋2，∴1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4)．12．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝f且lg[g(x)]＞0，求g(x)的单调区间．解析：(1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈，∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)知a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1.又由lg[g(x)]＞0得g(x)＞1，∴4sin－1＞1，∴sin＞，∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋π，k∈Z.由2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得g(x)的单调增区间为：(k∈Z)由2kπ＋≤2x＋＜2kπ＋，得g(x)的单调减区间为(k∈Z).6\n6
