【师说系列】2022届高考数学一轮练之乐1.1.4函数的单调性与最值文一、选择题1．(2022·宁夏月考)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A．y＝logx B．y＝2x－1C．y＝x2－D．y＝－x3解析：观察四个选项，在(－1,1)内单调递增的只有函数y＝2x－1且其在(－1,1)内也有零点．故选B.答案：B2．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( )A.B.C.D.解析：函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－2＋的减区间为，∵e＞1，∴函数f(x)的单调减区间为.答案：D3．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有惟一的实根解析：∵f(a)·f(b)＜0且f(x)在[a，b]上单调，∴由数形结合，可以看出，必有惟一的实数x0，使f(x0)＝0成立．答案：D4．函数f(x)(x∈R)的图象如下图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是( )A.B．(－∞，0)∪C．[，1]D．[，]解析：y＝logax(0＜a＜1)为减函数，根据复合函数的单调性及图象知，当0≤logax≤，即≤x≤1时，g(x)为减函数，故其单调减区间为[，1]．4\n答案：C5．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )A．(1,2)B．(2,3)C．(2,3]D．(2，＋∞)解析：要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．若f(x)＝(a－2)x－1在区间(－∞，1]上单调递增，则a－2＞0，即a＞2.若f(x)＝logax在区间(1，＋∞)上单调递增，则a＞1.另外，要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a－2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a的取值范围为2＜a≤3.答案：C6．(2022·辽宁模拟)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( )A．{x|x≤0或1≤x≤4}B．{x|0≤x≤4}C．{x|x≤4}D．{x|0≤x≤1或x≥4}解析：画出函数f(x)和g(x)的草图如图，由图可知当f(x)g(x)≥0时，x的取值范围是x≤0或1≤x≤4，即{x|f(x)g(x)≥0}＝{x|x≤0或1≤x≤4}，故选A.答案：A二、填空题7．已知y＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m－1)＜f(1－2m)，则m的取值范围是__________．解析：依题意，原不等式等价于⇒⇒－＜m＜.答案：8．已知下列四个命题：①若f(x)为减函数，则－f(x)为增函数；②若f(x)为增函数，则函数g(x)＝在其定义域内为减函数；③若f(x)与g(x)均为(a，b)上的增函数，则f(x)·g(x)也是区间(a，b)上的增函数；④若f(x)与g(x)在(a，b)上分别是递增与递减函数，且g(x)≠0，则在(a，b)上是递增函数．其中正确命题的序号是__________．解析：①正确；②不正确，可用y＝x(x≠0)说明，若f(x)恒大于零(或若f(x)恒小于零)，则命题②成立；③不正确，可用y＝x(x＞0)与y＝－(x＞0)说明；④不正确，可用y＝x(x＞0)与y＝－x(x＞0)说明．4\n答案：①9．已知函数f(x)＝若f(6－a2)＞f(5a)，则实数a的取值范围是__________．解析：当x≤2时，f1(x)＝－x2＋4x－10是单调递增函数；当x＞2时，f2(x)＝log3(x－1)－6也是单调递增函数，且f1(2)＝－22＋4×2－10＝－6，f2(2)＝log3(2－1)－6＝－6，即f1(2)＝f2(2)，因此f(x)在R上单调递增，又因为f(6－a2)＞f(5a)，所以6－a2＞5a，解得－6＜a＜1.答案：－6＜a＜1三、解答题10．已知函数f(x)＝a－.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．解析：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，设0＜x1＜x2，则x1x2＞0，x2－x1＞0.f(x1)－f(x2)＝－＝－＝＜0.∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a－＜2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋，则a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增．故a≤h(1)即a≤3，∴a的取值范围为(－∞，3]．11．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．解析：(1)当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，令x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝a(2－2x2)＋b(3－3)，∵2＜2，a＞0⇒a(2－2)＜0，3＜3，b＞0⇒b(3－3)＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，函数f(x)在R上是增函数．当a＜0，b＜0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0，当a＜0，b＞0时，x＞－，则x＞log1.5；4\n当a＞0，b＜0时，x＜－，则x＜log1.5.12．设函数f(x)对任意的x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x＞0时，f(x)＞1.(1)求证：函数f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3t2－t－2)＜3.解析：(1)方法一：设x1，x2∈R且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，∴f(Δx)＞1，∴f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)－1＞f(x1)，∴f(x)是R上的增函数．方法二：f(0)＝f(0)＋f(0)－1，∴f(0)＝1.∴f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1＝1.∴f(－x)＝2－f(x)，设x1，x2∈R且x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1＝f(x2)＋2－f(x1)－1＝f(x2)－f(x1)＋1＞1.∴f(x2)－f(x1)＞0，∴f(x)是R上的增函数，(2)f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.∴f(3t2－t－2)＜3＝f(2)．又由(1)的结论知函数f(x)是R上的增函数．∴3t2－t－2＜2，∴－1＜t＜.4
