【师说系列】2022届高考数学一轮练之乐1.1.7指数与指数函数文一、选择题1．(2022·聊城统考)若lga＋lgb＝0(其中a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象( )A．关于直线y＝x对称 B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于原点对称解析：由lga＋lgb＝0可知lgab＝0，即ab＝1，所以f(x)＝ax，g(x)＝a－x.若点(x，y)在f(x)＝ax的图象上，则点(－x，y)在函数g(x)＝a－x的图象上，即两函数图象关于y轴对称．答案：C2．(2022·江西联考)已知函数f1(x)＝ax，f2(x)＝xa，f3(x)＝logax(其中a＞0，且a≠1)，在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象，正确的是( )A B C D解析：不论a＞1还是0＜a＜1，三个函数的单调性应该是一致的，而在A、C、D中的两个函数的单调性显然不一致．答案：B3．(2022·中山一模)设＜b＜a＜1，那么( )A．aa＜bb＜baB．aa＜ba＜abC．ab＜ba＜aaD．ab＜aa＜ba解析：∵＜b＜a＜1，∴1＞b＞a＞0.∴ab＜aa，且aa＜ba，故ab＜aa＜ba.答案：D4．(2022·福州二模)函数y＝的值域是( )A．[4，＋∞)B．(4，＋∞)C．(－∞，4)D．(－∞，4]解析：令x2－2x＋3＝t，则y＝2t.∵t＝(x－1)2＋2≥2，∴y＝2t≥22＝4.答案：A5．(2022·丽水二模)当x∈[－2,2]时，ax＜2(a＞0且a≠1)，则实数a的范围是( )A．(1，)B.C.∪(1，)D．(0,1)∪(1，)解析：x∈[－2,2]时，ax＜2(a＞0且a≠1)，若a＞1时，y＝ax是一个增函数，则有a2＜2，可得a＜，故有1＜a＜，4\n若0＜a＜1，y＝ax是一个减函数，则有a－2＜2，可得a＞，故有＜a＜1，综上知a∈∪(1，)．答案：C6．(2022·哈尔滨月考)设a＝0.64.2，b＝0.74.2，c＝0.65.1，则a，b，c大小关系正确的是( )A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a解析：由幂函数y＝x4.2在第一象限内的单调递增的性质，可知b＞a；由指数函数y＝0.6x的单调递减性，可知a＞c，故有b＞a＞c.答案：B二、填空题7．函数y＝2x＋1＋4x的值域为__________．解析：y＝2x＋1＋4x＝(2x＋1)2－1，因为2x＞0，所以y＞0，故y∈(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)8．若x＞0，则(2x＋3)(2x－3)－4x(x－x)＝__________.解析：原式＝(2x)2－(3)2－4x＋4x＝4x－33－4x＋4＝－23.答案：－239．已知loga＞0，若≤，则实数x的取值范围为__________．解析：由loga＞0得0＜a＜1.由≤得≤a－1，∴x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3，或x≥1.答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)三、解答题10．已知函数f(x)＝2x－.(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－.由条件，可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±.∵2x＞0，∴2x＝1＋.∴x＝log2(1＋)．4\n(2)当t∈[1,2]时，2t(22t－)＋m(2t－)≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)．∵t∈[1,2]，∴22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．∴t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]．故m的取值范围是[－5，＋∞)．11．(2022·信阳调研)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数(a＞0，b＞0)．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＜－f(2t2－k)恒成立，求k的取值范围．解析：(1)f(－x)＝＝，由f(x)＝－f(－x)得，2b·22x＋(ab－2)2x－a＝a·22x＋(2－ab)2x－2b，∴a＝2，b＝1或a＝－2，b＝－1(舍去)，∴a＝2，b＝1.(2)f(x)＝＝＝－，∴f(x)在(－∞，＋∞)上递减，∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，∴t2－2t＞k－2t2，整理得3t2－2t－k＞0对t∈R恒成立，∴4＋12k＜0，k＜－，因此实数k的取值范围是.12．(2022·潍坊联考)定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时，f(x)＝－(a∈R)．(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；(2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围．解析：(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，f(－x)＝－＝4x－a·2x.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]．令t＝2x，t∈[1,2]，∴g(t)＝a·t－t2＝－2＋.当≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1；当1＜＜2，即2＜a＜4时，g(t)max＝g＝；4\n当≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4；综上所述，当a≤2时，f(x)最大值为a－1，当2＜a＜4时，f(x)最大值为，当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.(2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴f′(x)＝aln2·2x－ln4·4x＝2xln2(a－2·2x)≥0，∴a－2·2x≥0恒成立，a≥2·2x，∵2x∈[1,2]，∴a≥2.即a的取值范围是[2，＋∞)．4
