【师说系列】2022届高考数学一轮练之乐1.8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程文一、选择题1．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( )A. B.C.∪D.∪解析：斜率k＝－，故k∈[－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈.答案：B2．设A(－2,3)、B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是( )A.∪B.C.D.∪解析：直线方程可化为y＝－ax－2，知其过定点P(0，－2)，依题意有kPA＝－，kPB＝，由－a≥，得a≤－，由－a≤－，得a≥.答案：D3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )A B C D解析：当a＞0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a＞0，A、B、C、D都不成立；当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，A、B、C、D都不成立；当a＜0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a＜0，只有C成立．答案：C4．直线l1：3x－y＋1＝0，直线l2过点(1,0)，且它的倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为( )A．y＝6x＋1B．y＝6(x－1)C．y＝(x－1)D．y＝－(x－1)5\n解析：由tanα＝3可求出直线l2的斜率k＝tan2α＝＝－，再由l2过点(1,0)即可求得直线方程．答案：D5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是( )A．1B．2C．－D．2或－解析：当2m2＋m－3≠0时，在x轴上截距为＝1，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－.答案：D6．函数y＝asinx－bcosx(ab≠0)的一条对称轴的方程为x＝，则以向量c＝(a，b)为方向向量的直线的倾斜角为( )A．45°B．60°C．120°D．135°解析：由f(x)＝asinx－bcosx关于x＝对称，得f(0)＝f，代入得a＝－b，∴向量c＝(a，b)＝(a，－a)＝a(1，－1)，∴直线的斜率为k＝－1，即倾斜角α＝135°.答案：D二、填空题7．实数x、y满足3x－2y－5＝0(1≤x≤3)，则的最大值、最小值分别为______、______.解析：设k＝，则表示线段AB：3x－2y－5＝0(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵A(1，－1)、B(3,2)．由图易知：max＝kOB＝，min＝kOA＝－1.答案： －15\n8．直线l过点P(－1,1)且与直线l′：2x－y＋3＝0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，则直线l的方程为__________．解析：如图所示，由直线l、l′与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形可知：l与l′的倾斜角互补，从而可知其斜率互为相反数，由l′的方程知其斜率为2，从而l的斜率为－2，又过点P(－1,1)，则由直线方程的点斜式，得y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.答案：2x＋y＋1＝09．已知直线l过点P(2,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为__________．解析：设过A，B的直线l的斜率为k(k＜0)，则y－1＝k(x－2)，∴A点坐标为(，0)，B点坐标为(0,1－2k)．由S△OAB＝·|OA|·|OB|＝··(1－2k)＝·＝(－4k－＋4)≥[2·＋4]＝(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝－时，S△OAB取得最小值4.答案：4三、解答题10．根据所给条件求直线的方程．(1)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(2)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析：(1)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为：4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(2)依题设知，此直线有斜率不存在的情况．当斜率不存在时，所求直线方程为：x－5＝0；5\n当斜率存在时，设其为k，则y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到线距离公式，得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.11．在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．解析：(1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为M，BC边的中点为N.∵M在y轴上，∴＝0，x0＝－5.∵N在x轴上，∴＝0，y0＝－3.即C(－5，－3)．(2)∵M，N(1,0)，∴直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0.12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．解析：(1)证明：直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，令解之得∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，合题意，故k≥0.(3)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．依题意得解得k＞0.∵S＝·|OA|·|OB|＝·||·|1＋2k|5\n＝·＝≥(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.5
