【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学7.1命题及其关系、充分条件与必要条件练习一、选择题1．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )A．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数解析：注意到命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的条件与结论，可知逆否命题为“若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数”．答案：B2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：若a＝1，则|a|＝1是真命题，即a＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1⇒a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件，故选A.答案：A3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：否定原题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.答案：D4．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：显然a＝1时一定有N⊆M，反之则不一定成立，如a＝－1.故是充分不必要条件．答案：A5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( )A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3解析：由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b；且由a＞b不能得出a＞b＋1.因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，故选A.答案：A3\n6．已知a，b为非零向量，则“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：函数f(x)＝x2a·b－(a2－b2)x－a·b，当函数f(x)是一次函数时必然要求a·b＝0，即a⊥b，但当a⊥b，|a|＝|b|时，函数f(x)不是一次函数，故选B.答案：B二、填空题7．函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是____________．解析：若a＝b＝0，则f(x)＝x·|x|＝，图象为下图所示．f(x)是奇函数，反之，若f(x)是奇函数，则f(0)＝0知b＝0.f(x)＝x|x＋a|，f(－x)＝－x|－x＋a|＝－f(x)＝－x|x＋a|，∴对任意x∈R有x(|x＋a|－|x－a|)＝0，故必有|x＋a|＝|x－a|，即a＝0.答案：a＝b＝08．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为__________．解析：①逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．答案：①③9．下列结论中是真命题的是__________(填序号)．①f(x)＝ax2＋bx＋c在[0，＋∞)上是增函数的一个充分条件是－＜0；②已知甲：x＋y≠3，乙：x≠1或y≠2，则甲是乙的充分不必要条件；③数列{an}(n∈N*)是等差数列的充要条件是Pn是共线的．解析：①f(x)＝ax2＋bx＋c在[0，＋∞)上是增函数，则必有a＞0，－≤0，故①不正确．3\n②x＝1且y＝2，则x＋y＝3.从而逆否命题是充分不必要条件，故②正确．③若{an}是等差数列，则Sn＝An2＋Bn，即＝An＋B，故③正确．答案：②③三、解答题10．已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，且x∈P是x∈Q的必要条件．求实数a的取值范围．解析：∵x∈P是x∈Q的必要条件，∴Q⊆P.又P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|1＜x＜3}，∴得－1≤a≤5.11．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假并证明你的结论．解析：(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，是真命题．用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，为真命题．因为一个命题⇔它的逆否命题，所以可证明原命题为真命题．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命题为真．12．设函数f(x)＝lg的定义域为A，若命题p：3∈A与q：5∈A有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．解析：A＝.若3∈A，则＞0，即＜a＜9；若5∈A，则＞0，即1＜a＜25.若p真q假，则，a无解；若p假q真，则，1＜a≤或9≤a＜25.综上，a∈∪[9,25).3
