【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学8.4直线与圆、圆与圆的位置关系练习一、选择题1．点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a＞0)内不为圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是( )A．相切 B．相交C．相离D．相切，或相交解析：由已知得x＋y＜a2，且x＋y≠0，又∵圆心到直线的距离d＝＞a，∴直线与圆相离．答案：C2．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A．4 B．4 C．8 D．8解析：依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a＞0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝×＝8，选C.答案：C3．若a、b、c是直角三角形的三边(c为斜边)，则圆x2＋y2＝2截直线ax＋by＋c＝0所得的弦长等于( )A．1B．2C.D．2答案：B4．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至多有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是( )A．(－∞，2－]B．[2＋，＋∞)C．(－∞，2－]∪[2＋，＋∞)D．[2－，2＋]答案：C5．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能答案：B6．已知圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0上的两点P、Q关于直线kx－y＋4＝0对称，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，则直线PQ的方程为( )A．y＝－x＋B．y＝－x＋或y＝－x＋C．y＝－x＋4\nD．y＝－x＋或y＝－x＋解析：由P、Q关于直线kx－y＋4＝0对称知直线kx－y＋4＝0过已知圆的圆心(－，3)，则k＝2，直线PQ的斜率kPQ＝－.设直线PQ的方程为y＝－x＋b，P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则P、Q两点的坐标是方程组的解，消去y得x2＋(4－b)x＋b2－6b＋3＝0，故x1＋x2＝－， ①x1x2＝， ②由OP⊥OQ⇒x1x2＋y1y2＝0⇒x1x2＋(－x1＋b)·(－x2＋b)＝0，x1x2－(x1＋x2)＋b2＝0，将①，②代入得b＝或b＝.所以直线PQ的方程为y＝－x＋或y＝－x＋.故选B.答案：B二、填空题7．已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是__________．解析：设圆心为(a,0)(a＜0)，则＝，解得a＝－2，故圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2.答案：(x＋2)2＋y2＝28．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．解析：设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于＝0，即圆心位于直线kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0.答案：2x－y＝09．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．解析：依题意得|OO1|＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··|OO1|＝·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝＝＝4.答案：4三、解答题10．根据下列条件求圆的方程：(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；4\n(2)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4.解析：(1)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为x＋y－1＝0.解方程组得圆心C的坐标为(4，－3)．又因为圆的半径r＝|OC|＝5，所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①将P，Q点的坐标分别代入①，得令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④由已知|y1－y2|＝4，其中y1、y2是方程④的两根，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤解②③⑤组成的方程组，得D＝－2，E＝0，F＝－12，或D＝－10，E＝－8，F＝4，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0，或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.11．已知m∈R，直线lmx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解析：(1)直线l的方程可化为y＝x－，直线l的斜率k＝，因为|m|≤(m2＋1)，所以|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．所以，斜率k的取值范围是[－，]．(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离为d＝.由|k|≤，得d≥＞1，即d＞.从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．12．已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．解析：4\n方法一：(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．从而圆的半径r＝|MP|＝＝2，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，所以直线l′的方程为y＝－x－m.由得x2＋4x＋4m＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．方法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则，解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)同方法一.4
