第61讲 轨迹问题 1.方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线 2.已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0 3.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x 4.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹方程为__________． 5.已知实数m，n满足m2＋n2＝1，则P(m＋n，m－n)的轨迹方程是____________． 6.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一动点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程是________________． 7.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过点P且垂直于x轴的直线上的点，＝e(e为椭圆C的离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 8.在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－，0)，C(，0)，a＞0，且满足sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹是( )A.－＝1(y≠0)5\nB.－＝1(x≠0)C.－＝1(y≠0)的左支D.－＝1(y≠0)的右支 9.设A1、A2是椭圆＋＝1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程是____________________．10.(2022·四川卷)如图，动点M与两定点A(－1，0)、B(2，0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB，设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设直线y＝－2x＋m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．5\n5\n第61讲1．C 2.D 3.B 4.x＋2y－5＝0 5.x2＋y2＝2 6.(x＋4)2＋y2＝1007．解析：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得，解得，所以b2＝7，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4，4]．由已知得＝e2.而e＝，故16(x2＋y12)＝9(x2＋y2)．①由点P在椭圆C上得y12＝，代入①式并化简得9y2＝112，所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．8．D 解析：由正弦定理及sinC－sinB＝sinA，得|AB|－|AC|＝a，故A点的轨迹是双曲线的右支且y≠0.9.－＝1解析：(交轨法)由已知，A1(－3，0)，A2(3，0)．设P1(x1，y1)，则P2(x1，－y1)，交点M(x，y)，则由A1、P1、M三点共线，得＝.①又A2、P2、M三点共线，得＝.②①×②得＝.又＋＝1，即＝，从而＝，即－＝1.10．解析：(1)设M的坐标为(x，y)，显然有x＞0，y≠0.当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)；当∠MBA≠90°时，x≠2.由∠MBA＝2∠MAB，有tan∠MBA＝，即－＝化简得：3x2－y2－3＝0，而又经过(2，±3)．综上可知，轨迹C的方程为3x2－y2－3＝0(x＞1)．(2)由方程消去y，可得x2－4mx＋m2＋3＝0.(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内，设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3.5\n所以，解得m＞1，且m≠2.设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|＜|PR|有xR＝2m＋，xQ＝2m－，所以＝＝＝＝－1＋，由m＞1，且m≠2，有1＜－1＋＜7＋4，且－1＋≠7.所以的取值范围是(1，7)∪(7，7＋4)．5
