第52讲 空间距离及其计算、折叠问题 1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点A到直线A1C的距离为( )A.aB.aC.aD.a 2.(2022·大纲卷)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为( )A．2 B.C. D．1 3.将一内角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线BD折成90°的二面角后，A、C两点间的距离为( )A.aB.aC.D.a 4.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量n＝(2，－2，1)，已知P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于( )A．4B．2C．3D．1 5.(2022·辽宁卷)已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为______________． 6.如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有____________．(只需填上正确命题的序号)①动点A′在平面ABC上的射影落在线段AF上；②三棱锥A′－FED的体积有最大值；③恒有平面A′GF⊥平面BCED；④异面直线A′E与BD不可能互相垂直；⑤异面直线FE与A′D所成角的取值范围是(0，]． 7.如图，正方体的棱长为1，C、D、M分别为三条棱的中点，A、B是顶点，求点M到截面ABCD的距离．5\n 8.已知A(－1，0)，B(2，1)，C(1，－1)，若坐标平面沿x轴折成直二面角，则折后∠BAC的余弦值为________． 9.二面角α－a－β的平面角为120°，在平面α内，AB⊥a于B，AB＝2；在平面β内，CD⊥a于D，CD＝3，BD＝1，M是棱a上的一个动点，则AM＋CM的最小值为________．10.如图，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形(如图①)．将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图②)．(1)证明：AC⊥BO1；(2)求二面角O—AC—O1的正弦值．5\n5\n第52讲1．C 2.D 3.D 4.B 5. 6.①②③④7．解析：设点M到截面ABCD的距离为h.连接AC、AM，作CF⊥AB，垂足为F，连接CM.VC—ABM＝S△ABM·CM＝××1＝.又VM—ABC＝··AB·CF·h＝××××h＝，故由VC—ABM＝VM—ABC，得＝，所以h＝.8. 解析：作CM⊥x轴于M，折后可知CM⊥BM.因为AC＝，BM＝，所BC＝.又因为AB＝，所以cos∠BAC＝＝.9. 解析：将二面角α－a－β展成平面，将AM＋CM转化为平面上的距离，则AM＋CM的最小值为AC，易求得AC＝.10．解析：方法1：(1)证明：由题设知，OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.从而AO⊥平面OBCO1.OC是AC在面OBCO1内的射影．因为tan∠OO1B＝＝，tan∠O1OC＝＝，所以∠OO1B＝60°，∠O1OC＝30°，从而OC⊥BO1，由线面垂直得AC⊥BO1.(2)由(1)知，AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.设OC∩O1B＝E，过点E作EF⊥AC于F，连接O1F，则EF是O1F在平面AOC内的射影．由线面垂直得AC⊥O1F，所以∠O1FE是二面角O－AC－O1的平面角．由已知，OA＝3，OO1＝，O1C＝1，所以O1A＝＝2，AC＝＝，5\n从而O1F＝＝.又O1E＝OO1·sin30°＝，所以sin∠O1FE＝＝.方法2：(1)证明：由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如右图．则相关各点的坐标是A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，1，)，O1(0，0，)．从而＝(－3，1,)，＝(0，－3,)，故·＝－3＋×＝0，所以AC⊥BO1.(2)因为·＝－3＋×＝0，所以BO1⊥OC.由(1)知AC⊥BO1，AC∩OC＝C，所以BO1⊥平面OAC，所以是平面OAC的一个法向量．设n＝(x，y，z)是平面O1AC的一个法向量，由，得，取z＝，得n＝(1，0，)．设二面角O—AC—O1的大小为θ，由n、的方向可知θ＝〈n，〉，所以cosθ＝cos〈n，〉＝＝＝，则sinθ＝.即二面角O—AC—O1的正弦值为.5
