第56讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.圆x2＋y2＝1与直线ax＋by＋c＝0(a、b、c∈R，c≠0)相切的充要条件是( )A．a2＋b2＝c2B．a2＝b2＋c2C．a－c＝0或b－c＝0D．a＋c＝0或b＋c＝0 2.(2022·陕西卷)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l为过点P(3，0)的直线，则( )A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能 3.(2022·重庆卷)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心 4.两圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是( )A．相交B．内含C．外切D．内切 5.(2022·四川卷)直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝__________． 6.(2022·杭州模拟)若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是__________． 7.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，P点的坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A、B.(1)求直线PA、PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．4\n 8.(2022·漳州模拟)一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路线是( )A．3－1B．2C．5D．4 9.(2022·镇江模拟)若集合A＝{(x，y)|y＝1＋}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)＋4}．当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是____________________．10.已知与圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线l交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|＝a，|OB|＝b(a＞2，b＞2)．(1)求证：(a－2)(b－2)＝2；(2)求线段AB的中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值．4\n4\n第56讲1．A 2.A 3.C 4.D 5.2 6.(4，6)7．解析：(1)如图，设过P点的圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.因为圆心(1，2)到切线的距离为，即＝，所以k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，所以所求的切线方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.(2)连接PC，CA.在Rt△PCA中，|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8，所以过P点的圆C的切线长为2.(3)由，解得A(，)．又由，解得B(0，1)，所以直线AB的方程为x－3y＋3＝0.8．D 解析：因为点A(－1，1)关于x轴的对称点坐标为(－1，－1)，圆心坐标为(2，3)，所以从点A(－1，1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程为－1＝4.9．(，]解析：A∩B有四个子集，故A∩B有2个元素，即直线与上半圆有两个交点，易求相切时k＝，又直线过上半圆的左端点时k＝，数形结合知<k≤.10．解析：(1)证明：由题意知，直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.将圆C的方程配方得(x－1)2＋(y－1)2＝1.因为圆心(1，1)到直线l的距离为1，即1＝，整理得ab－2a－2b＋2＝0，即(a－2)(b－2)＝2.(2)设线段AB的中点为M(x，y)，则由中点坐标公式得a＝2x，b＝2y，代入(1)的结论有(2x－2)(2y－2)＝2，即(x－1)(y－1)＝(其中x＞1，y＞1)，这便是中点M的轨迹方程．(3)因为S△AOB＝ab，由(1)知ab＝a＋b－1＝(a－2)＋(b－2)＋3≥2＋3＝2＋3，所以S△AOB的最小值为2＋3(当且仅当“a＝b”时等号成立)．4
