【高考领航】2022高考数学总复习8-4直线与圆、圆与圆的位置关系练习苏教版【A组】一、填空题1．若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是________．解析：由题意得圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离小于1，即d＝＜1，所以有＞1，∴点P在圆外．答案：在圆外2．(2022·高考广东卷)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为________．解析：设圆心C(x，y)，由题意得＝y＋1(y＞0)，化简得x2＝8y－8.答案：x2＝8y－83．(2022·高考重庆卷)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2＝2(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|＝×2×2＝10.答案：104．(2022·高考江西卷)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是________．解析：整理曲线C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1为以点C1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交点，知直线l与x轴相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝＜7\nr＝1，解得m∈，又当m＝0时，直线l与x轴重合，此时只有两个交点，应舍去．答案：(－，0)∪(0，)5．(2022·高考湖北卷)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．解析：设过P点的直线为l，当OP⊥l时，过P点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分面积之差最大．易求得直线的方程为x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝06．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的方程为________．解析：设所求直线的方程为x＋y＋m＝0，圆心(a,0)，由题意知：()2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，∴a＝3，故圆心坐标为(3,0)，而直线x＋y＋m＝0过圆心(3,0)，∴3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求直线的方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝07．(2022·高考福建卷)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于________．解析：如图所示：解Rt△ACO，|OC|为圆心到直线x＋y－2＝0的距离，|OC|＝＝1，|OA|＝r＝2，|AC|＝＝＝，|AB|＝2|AC|＝2答案：2二、解答题7\n8．圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．解：(1)要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，圆心C(0，－4)，半径r＝|AB|＝，所以所求圆的方程为：x2＋(y＋4)2＝5.(2)法一：因为kAB＝，AB中点为(0，－4)，所以AB中垂线方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组得所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式，得半径r＝，因此，所求的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根据已知条件得⇒所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.9．已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l1过定点A(3,0)，且与圆C相切．(1)求直线l1的方程；(2)设圆C与x轴交于P、Q两点，M是圆C上异于P、Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点O′.求证：以P′Q′为直径的圆C′总过定点，并求出定点坐标．解：(1)∵直线l1过点A(3,0)，且与圆C：x2＋y2＝1相切，设直线l1的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d＝＝1，解得k＝±，∴直线l1的方程为y＝±(x－3)．(2)证明：对于圆C的方程x2＋y2＝1，令y＝0，则x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)．又直线l2过点A且与x轴垂直，∴直线l2方程为x＝3.设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝(x＋1)．7\n解方程组得P′(3，)．同理可得Q′(3，)．∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为(x－3)(x－3)＝(y－)(y－)＝0，又s2＋t2＝1，∴整理得(x2＋y2－6x＋1)＋y＝0，若圆C′经过定点，只需令y＝0，从而有x2－6x＋1＝0，解得x＝3±2，∴圆C′总经过定点，定点坐标为(3±2，0)．【B组】一、填空题1．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.解析：方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.相减得2ay＝2，则y＝.由已知条件＝，即a＝1.答案：12．(2022·常州十校联考)已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与y轴相切，与x轴相交于点A、B，若AB＝，则该圆的标准方程是________．解析：根据AB＝，可得圆心到x轴的距离为，故圆心坐标为，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋2＝1.答案：(x－1)2＋2＝13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．解析：由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵d＝＝，∴0≤|c|<13，即c∈(－13,13)．答案：(－13,13)4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点C为(－2,3)，7\n则直线l的方程为________．解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a.由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C(－2,3)的连线必垂直于l，∴kAB＝－＝1，∴l的方程为x－y＋5＝0.答案：x－y＋5＝05．(2022·扬州模拟)从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．解析：圆的方程整理为(x－1)2＋(y－1)2＝1，C(1,1)，∴sin∠APC＝，则cos∠APB＝cos2∠APC＝1－2×2＝.答案：6．直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，则m的值为________．解析：当OA⊥OB时，圆心(0,0)到直线2x－y＋m＝0的距离等于r，∴＝·.∴m＝±.答案：±7．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：如图所示，设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝＝，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2，∴|PM|的最小值为2，7\n∴|PQ|＝≥＝.答案：二、解答题8．(2022·泰州模拟)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝4和圆外一点A(1,2)，(1)若直线m经过原点O，且圆C上恰有三个点到直线m的距离为1，求直线m的方程；(2)若经过A的直线l与圆C相切，切点分别为D，E，求切线l的方程及D、E两切点所在的直线方程．解：(1)方法一：圆C的圆心为(－1,0)，半径r＝2，圆C上恰有三个点到直线m的距离为1，则圆心到直线m的距离恰为1，由于直线m经过原点，圆心到直线m的距离最大值为1.所以满足条件的直线就是经过原点且垂直于OC的直线，即y轴，所以直线方程为x＝0.方法二：圆C的圆心为(－1,0)，半径r＝2，圆C上恰有三个点到直线m的距离为1.则圆心到直线m的距离恰为1.设直线方程为y＝kx，d＝＝1，k无解．直线斜率不存在时，直线方程为x＝0显然成立．所以所求直线为x＝0.(2)设直线方程为y－2＝k(x－1)，d＝＝2，解得k＝，所求直线为y－2＝(x－1)，即x－3y＋5＝0，斜率不存在时，直线方程为x＝1，∴切线l的方程为x＝1或x－3y＋5＝0，过点C、D、E、A有一外接圆，x2＋(y－)2＝4，即x2＋y2－2y－1＝0，过切点的直线方程为x＋y－1＝0.9．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x－y－6＝0，A为直线l上一点．(1)若AM⊥直线l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠PAQ的大小；(2)若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围．解：(1)圆M的圆心M(1,1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1，而AM⊥l，∴kAM＝1.′∴直线AM的方程为y＝x.由解得7\n即A(3,3)．如图，连结MP，∵∠PAM＝∠PAQ，sin∠PAM＝＝＝，∴∠PAM＝45°，∴∠PAQ＝90°.(2)过A(a，b)作AD，AE，分别与圆M相切于D，E两点，因为∠DAE≥∠BAC，所以要使圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，只要做∠DAE≥60°.∵AM平分∠DAE，∴只要30°≤DAM<90°.类似于第(1)题，只要≤sin∠DAM<1，即≥且≥<1.又a＋b－6＝0，解得1≤a≤5，即a的取值范围是[1,5]．7
