第32讲 等比数列的概念及基本运算 1.设等比数列{an}的前三项为，，，则该数列的第四项为( )A.B.C.D．1 2.若数列{an}满足an＝qn(q>0，n∈N*)，则以下命题正确的是( )①{a2n}是等比数列；②{}是等比数列；③{lgan}是等差数列；④{lgan2}是等差数列．A．①③B．③④C．①②③④D．②③④ 3.(2022·哈尔滨市)在等比数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为( )A．2－B．2－C．2－D．2－ 4.首项为2，公比为3的等比数列，从第n项到第N项的和为720，则n，N的值分别为( )A．n＝2，N＝6B．n＝3，N＝6C．n＝2，N＝7D．n＝3，N＝7 5.若数列－2，a，b，c，－18成等比数列，则b＝______，ac＝______． 6.(2022·广东卷)已知{an}是等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________． 7.(2022·陕西卷)已知等比数列{an}的公式为q＝－.(1)若a3＝，求数列{an}的前n项和；4\n(2)证明：对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列． 1.(2022·北京卷)已知{an}为等比数列，下列结论中正确的是( )A．a1＋a3≥2a2B．a12＋a32≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a2 2.(2022·全国新课标卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________． 3.等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列．(1)求数列{kn}的通项kn；(2)求数列{}的前n项和Sn.4\n第32讲巩固练习1．D 2.C 3.B4．B 解析：该等比数列的第n项到第N项的和S＝＝＝3N－3n－1＝720.因为720＝729－9＝36－32.所以N＝6，n－1＝2，即N＝6，n＝3.5．－6 36解析：因为－2，b，－18也成等比数列⇒b2＝(－2)×(－18)＝36，又奇数项同号，所以b＝－6.又a，b，c成等比数列⇒b2＝ac＝36.6．2或－1解析：由题意a2·q2－a2·q＝4⇒2q2－2q－4＝0⇒q＝2或q＝－1.7．解析：(1)由a3＝a1q2＝及q＝－，得a1＝1，所以数列{an}的前n项和Sn＝＝.(2)证明：对任意k∈N＋，2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，由q＝－得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0，所以，对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．提升能力1．B 解析：当a1<0，q<0时，可知a1<0，a3<0，a2>0，所以A选项错误；当q＝－1时，C选项错误；当q<0时，a3>a1⇒a3q<a1q⇒a4<a2，与D选项矛盾．因此根据均值定理可知B选项正确．2．－2 解析：当q＝1时，S3＝3a1，S2＝2a1，由S3＋3S2＝0得，9a1＝0，所以a1＝0与{an}是等比数列矛盾，故q≠1，由S3＋3S2＝0得，＋＝0，解得q＝－2.3．(1)由已知得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，解得a1＝d或d＝0(舍去)，4\n所以数列{an}的通项是an＝nd.因为数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，即数列d，3d，k1d，k2d，…，knd，…成等比数列，其公比q＝＝3，k1d＝32d，故k1＝9，所以数列{kn}是以k1＝9为首项，3为公比的等比数列，故kn＝9×3n－1＝3n＋1.(2)Sn＝＋＋＋…＋，①Sn＝＋＋＋…＋，②由①－②，并整理得Sn＝(1－)－.4
