第三单元 导数及其应用第15讲 导数的概念及运算 1.已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为( )A．2－ΔxB．－2－ΔxC．2＋ΔxD．(Δx2)－2·Δx 2.下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x)′＝3xlog3e;②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex;④()′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.A．1B．2C．3D．4 3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过ts后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是( )A．0s末B．1s末C．2s末D．1s末和2s末 4.(2022·山东卷)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9B．－3C．9D．15 5.(2022·湖南卷)曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为( )A．－B.C．－D.4\n 6.(2022·全国新课标卷)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1，1)处的切线方程为________________． 7.求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝(x2－1)sinx＋xcosx；(3)y＝；(4)y＝. 1.已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)的值为( )A．0B．－2C．2D．－4 2.若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________． 3.已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.(1)求曲线C上切点的横坐标为1的切线l的方程；(2)第(1)问中的切线l与曲线C是否还有其他公共点？如果有，请求出交点坐标．第15讲巩固练习1．B 解析：因为f(2)＝0，f(2＋Δx)－f(2)＝－2Δx－(Δx)2，所以＝－2－Δx.故选B.4\n2．B 解析：求导运算正确的有②③，2个，故选B.3．D 解析：因为s＝t3－t2＋2t，所以v＝s′(t)＝t2－3t＋2，令v＝0，得t2－3t＋2＝0，解得t1＝1，t2＝2.4．C 解析：切线斜率k切＝y′|x＝1＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，当x＝0时，y＝9.5．B 解析：y′＝＝，所以y′|x＝＝＝.6．y＝2x＋3解析：y′＝cosx＋ex，所以在x＝0处的切线斜率k＝y′|x＝0＝e0＋cos0＝2.又切点坐标为(0,3)，所以切线方程为y＝2x＋3.7．解析：(1)y′＝＝＝－.(2)y′＝[(x2－1)sinx]′＋(xcosx)′＝(x2－1)′sinx＋(x2－1)cosx＋cosx－xsinx＝2xsinx＋(x2－1)cosx－xsinx＋cosx＝xsinx＋x2cosx.(3)y′＝＝.(4)因为y＝＝x＋x－，所以y′＝(x)′＋(x－)′＝x－－x－.提升能力1．D 解析：由f(x)＝x2＋2x·f′(1)，知f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2×1＋2f′(1)，得f′(1)＝－2，f′(0)＝2×0＋2f′(1)，得f′(0)＝－4，故选D.2.解析：过点P作y＝x－2的平行直线，且其与曲线y＝x2－lnx相切，斜率设为k，y′＝2x－.设P(x0，x－lnx0)，则有k＝2x0－，所以2x0－＝1，所以x0＝1或x0＝－(舍去)．4\n所以P(1,1)，所以所求距离d＝＝.3．解析：(1)把x＝1代入C的方程，求得y＝－4，所以切点为(1，－4)，又y′＝12x3－6x2－18x，所以切线l的斜率为k＝12－6－18＝－12.所以切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.(2)由，得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，即(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0，所以x＝1，－2，.代入y＝3x4－2x3－9x2＋4，求得y＝－4,32,0，即公共点为(1，－4)(切点)，(－2,32)，(，0)，故切线l与曲线C除切点外，还有两个交点(－2,32)，(，0)．4
