第6讲正弦定理和余弦定理A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)6一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝( )．A．30°B．60°C．120°D．150°解析 由a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，得a2＝bc＋b2，＝2.由余弦定理，得cosA＝＝＝－＝－＝，所以A＝30°，故选A.答案 A2.(2022·四川)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝( )．A.B.C.D.解析 依题意得知，CD＝1，CE＝＝，DE＝＝，cos∠CED＝＝，所以sin∠CED＝＝，选B.答案 B3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝( )．A.B.C.D．2解析 ∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.又a＝1，b＝，∴＝，∴sinA＝＝×＝，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝×1×＝.6\n答案 C4．(2022·湖南)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )．A.B.C.D.解析 设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos60°，即7＝c2＋4－4ccos60°，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin60°＝3×＝，故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tanB＝ac，则角B的值为________．解析 由余弦定理，得＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝，∴sinB＝，∴B＝或.答案 或6．(2022·福建)已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析 依题意得，△ABC的三边长分别为a，a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：＝－.答案 －三、解答题(共25分)7．(12分)(2022·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．解 (1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cosB＝cos60°＝.(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sinAsinC，6\n即sinAsinC＝sin2B＝1－cos2B＝.8．(13分)(2022·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝，求△ABC的面积．解 (1)因为0＜A＜π，cosA＝，得sinA＝＝.又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝cosC＋sinC.所以tanC＝.(2)由tanC＝，得sinC＝，cosC＝.于是sinB＝cosC＝.由a＝及正弦定理＝，得c＝.设△ABC的面积为S，则S＝acsinB＝.6\nB级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )．A．2B．3C．4D．5解析 由A＝60°，不妨设△ABC中最大边和最小边分别为b，c，故b＋c＝7，bc＝11.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16，∴a＝4.答案 C2．(2022·豫北六校联考)已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于( )．A．3＋B．3C．2＋D.解析 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积为acsin＝，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋，故选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．解析 x＝＝＝sinA＋cosA＝sin.又A∈，∴<A＋<，∴<sin≤1，即x∈(1，]．答案 (1，]4．(2022·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab>c2，则C<②若a＋b>2c，则C<6\n③若a3＋b3＝c3，则C<④若(a＋b)c<2ab，则C>⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>解析 ①由ab>c2，得－c2>－ab，由余弦定理可知cosC＝>＝，因为C∈(0，π)，函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，所以C<，即①正确．②由余弦定理可知cosC＝>＝＝≥＝，所以C<，即②正确．③若C是直角或钝角，则a2＋b2≤c2，即2＋2≤1，而，∈(0,1)，而函数y＝ax(0<a<1)在R上是减函数，所以3＋3<2＋2≤1与a3＋b3＝c3矛盾，所以假设不成立，所以C<，即③正确．④因为(a＋b)c<2ab，所以c<≤＝，即ab>c2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a2＋b2)c2<2a2b2，所以c2<≤＝ab，即ab>c2，转化为命题①，故⑤错误．答案 ①②③三、解答题(共25分)5．(12分)(2022·万州三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sinA－sinB)＋ysinB＝csinC上．(1)求角C的值；(2)若a2＋b2＝6(a＋b)－18，求△ABC的面积．解 (1)由题意得a(sinA－sinB)＋bsinB＝csinC，由正弦定理，得a(a－b)＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cosC＝＝，结合0<C<π，得C＝.6\n(2)由a2＋b2＝6(a＋b)－18，得(a－3)2＋(b－3)2＝0，从而得a＝b＝3，所以△ABC的面积S＝×32×sin＝.6．(13分)(2022·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a.(1)求证：B－C＝；(2)若a＝，求△ABC的面积．(1)证明 由bsin－csin＝a应用正弦定理，得sinBsin－sinCsin＝sinA，sinB－sinC＝，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1.由于0＜B，C＜π，从而B－C＝.(2)解 B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.由a＝，A＝，得b＝＝2sin，c＝＝2sin，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝sinsin＝cossin＝.6
