第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·济南质检)α∈，sinα＝－，则cos(－α)的值为( )．A．－B.C.D．－解析 因为α∈，sinα＝－，所以cosα＝，即cos(－α)＝，故选B.答案 B2．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝( )．A．－B.C．－D.解析 由于tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝＝＝＝.答案 D3．(2022·广州调研)已知f(α)＝，则f的值为( )．A.B．－C.D．－解析 ∵f(α)＝＝cosα，∴f＝cos＝cos＝cos＝.答案 A5\n4．(2022·福建)若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于( )．A.B.C.D.解析 ∵cos2α＝cos2α－sin2α，∴sin2α＋cos2α＝cos2α，∴cos2α＝，又α∈，∴cosα＝，∴α＝，故tanα＝.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·揭阳模拟)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值是________．解析 1－2sinαcosα＝(sinα－cosα)2＝，又∵＜α＜，sinα＞cosα.∴cosα－sinα＝－.答案 －6．(2022·郑州模拟)若sin(π－α)＝log8，且α∈，则cos(2π－α)的值是________．解析 ∵sin(π－α)＝log8，∴sinα＝log232－2＝－.∴cos(2π－α)＝cosα＝＝.答案 三、解答题(共25分)7．(12分)已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．解 (1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵cos＝，α是第三象限角．5\n∴sinα＝－.∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.8．(13分)已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sin2α.解 法一 由sin(3π＋α)＝2sin，得tanα＝2.(1)原式＝＝＝－.(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα＝＝＝.法二 由已知得sinα＝2cosα.(1)原式＝＝－.(2)原式＝＝＝.分层B级 创新能力提升1．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，则＝( )．A.B.C.D.解析 由5x2－7x－6＝0得x＝－或x＝2.∴sinα＝－.∴原式＝＝＝.答案 B2．(2022·上海)若Sn＝sin＋sin＋…＋sin(n∈N*)，则在S1，S2，…，S1005\n中，正数的个数是( )．A．16B．72C．86D．100解析 由sin＝－sin，sin＝－sin，…，sin＝－sin，sin＝sin＝0，所以S13＝S14＝0.同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.答案 C3．(2022·重庆)已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．解析 依题意得sinα－cosα＝，又(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，即(sinα＋cosα)2＋2＝2，故(sinα＋cosα)2＝；又α∈，因此有sinα＋cosα＝，所以＝＝－(sinα＋cosα)＝－.答案 －4．(2022·青岛模拟)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β均为非零实数)，若f(2012)＝6，则f(2013)＝________.解析 f(2012)＝asin(2012π＋α)＋bcos(2012π＋β)＋4＝asinα＋bcosβ＋4＝6，∴asinα＋bcosβ＝2，∴f(2013)＝asin(2013π＋α)＋bcos(2013π＋β)＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝2.答案 25．(2022·天津)已知函数f(x)＝tan.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈，若f＝2cos2α，求α的大小．解 (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.所以f(x)的定义域为5\n，f(x)的最小正周期为.(2)由f＝2cos2α，得tan＝2cos2α，＝2(cos2α－sin2α)，整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．因为α∈，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝，即sin2α＝.由α∈，得2α∈.所以2α＝，即α＝.6．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝，∴sinα＝±.∵α∈，∴α＝±.当α＝时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；当α＝－时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝，β＝满足条件.5
