第7讲随机变量的均值与方差A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·垫江模拟)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．A.B.C.D．2解析 由题意，知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1.s2＝＝2.答案 D2．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为( )．A．5B．5.25C．5.8D．4.6解析 由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.答案 B3．若p为非负实数，随机变量ξ的分布为ξ012P－pp则E(ξ)的最大值为( )．A．1B.C.D．2解析 由p≥0，－p≥0，则0≤p≤，E(ξ)＝p＋1≤.答案 B4．(2022·广州一模)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是7\n( )．A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6解析 由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某射手射击所得环数ξ的分布如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．解析 x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.②由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.答案 0.46．(2022·温州调研)已知随机变量X的分布如表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.X－1 0 1 2 Pa b c 解析 由题意知解得答案 三、解答题(共25分)7．(12分)若随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数．(1)求方差D(X)的最大值；(2)求的最大值．解 随机变量X的所有可能的取值是0.1，并且有P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p.从而E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p－p2.(1)D(X)＝p－p2＝－2＋.∵0<p<1，∴当p＝时，D(X)取最大值，最大值是.7\n(2)＝＝2－.∵0<p<1，∴2p＋≥2.当2p＝，即p＝时取“＝”．因此当p＝时，取最大值2－2.8．(13分)(2022·汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．解 (1)X的分布为X01234P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴或即为所求．B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为( )．7\nA.B.C.D.解析 由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0<a<，0<b<1.又＋＝＝3＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝，b＝时，＋的最小值为，故选D.答案 D2．(2022·上海)设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2.若记D(ξ1)、D(ξ2)分别为ξ1、ξ2的方差，则( )．A．D(ξ1)>D(ξ2)B．D(ξ1)＝D(ξ2)C．D(ξ1)<D(ξ2)D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关解析 利用期望与方差公式直接计算．E(ξ1)＝0.2x1＋0.2x2＋0.2x3＋0.2x4＋0.2x5＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)．E(ξ2)＝0.2×＋0.2×＋…＋0.2×＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)．∴E(ξ1)＝E(ξ2)，记作，∴D(ξ1)＝0.2[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2]＝0.2[x＋x＋…＋x＋52－2(x1＋x2＋…＋x5)]＝0.2(x＋x＋…＋x－52)．同理D(ξ2)＝0.22＋2＋…＋2－52.∵2<，…，2<，7\n∴2＋2＋…＋2<x＋x＋x＋x＋x.∴D(ξ1)>D(ξ2)．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．随机变量ξ的分布如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________．解析 根据已知条件：解得：a＝，b＝，c＝，∴D(ξ)＝×2＋×2＋×2＝.答案 4．(2022·滨州一模)设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－2，－，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.解析 当l的斜率k为±2时，直线l的方程为±2x－y＋1＝0，此时坐标原点到l的距离d＝；当k为±时，d＝；当k为±时，d＝；当k为0时，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布如下：ξ1P所以E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝.答案 三、解答题(共25分)5．(12分)(2022·大连二模)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，a，a(0<a<1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.7\n(1)求ξ的分布及数学期望；(2)在概率P(ξ＝i)(i＝0,1,2,3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a的取值范围．解 (1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2，P(ξ＝1)＝(1－a)2＋a(1－a)＋(1－a)a＝(1－a2)，P(ξ＝2)＝a2＋(1－a)a＋a(1－a)＝(2a－a2)，P(ξ＝3)＝.所以ξ的分布为ξ0123P(1－a)2(1－a2)(2a－a2)ξ的数学期望为E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a)2＋2×(2a－a2)＋3×＝.(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)，P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝，P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.由及0<a<1，得0<a≤，即a的取值范围是.6．(13分)(2022·南川模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的分布；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？7\n思维启迪：本题在求解时，一定要分清求解的是哪一个变量的均值，理清随机变量取值时的概率．解 (1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P(ξ＝6)＝＝0.63，P(ξ＝2)＝＝0.25，P(ξ＝1)＝＝0.1，P(ξ＝－2)＝＝0.02.故ξ的分布为ξ621－2P0.630.250.10.02(2)1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x.由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.探究提高 (1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求E(X)，D(X)即可.7
