第十一篇统计与概率第1讲 抽样方法与总体分布的估计A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2022·西安质检)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )． A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53解析 样本共30个，中位数为＝46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A.答案 A2．(2022·荣昌模拟)小波一星期的总开支分布如图(a)所示，一星期的食品开支如图(b)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )．11\nA．30%B．10%C．3%D．不能确定解析 由题图(b)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元．又由题图(a)知，一周的食品开支占总开支的30%，则可知一周总开支为1000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为×100%＝3%.答案 C3．(2022·成都模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )．A．101B．808C．1212D．2012解析 甲社区驾驶员的抽样比例为＝，四个社区驾驶员总人数的抽样比例为＝，由＝，得N＝808.答案 B4．(2022·安徽)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )．A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差11\n解析 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·武夷模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．解析 设第1组抽取的号码为b，则第n组抽取的号码为8(n－1)＋b，∴8×(16－1)＋b＝126，∴b＝6，故第1组抽取的号码为6.答案 66．(2022·苏州一中月考)某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图可估计这1000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生人数是________．解析 低于60分学生所占频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故低于60分的学生人数为1000×0.2＝200，所以不低于60分的学生人数为1000－200＝800.答案 800三、解答题(共25分)7．(12分)某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．解 用分层抽样方法抽取．具体实施抽取如下：11\n(1)∵20∶100＝1∶5，∴＝2，＝14，＝4，∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．8．(13分)(2022·揭阳调研)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．解 (1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为＝25.(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为÷10＝0.016.11B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)11一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )．A．13,12B．13,13C．12,13D．13,14解析 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d11\n)＝64，(4－d)(2＋d)＝8,2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为＝13，中位数为＝13，故选B.答案 B2．(2022·江西)样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝α＋(1－α)，其中0<α<，则n，m的大小关系为( )．A．n<mB．n>mC．n＝mD．不能确定解析 依题意得x1＋x2＋…＋xn＝n，y1＋y2＋…＋ym＝m，x1＋x2＋…＋xn＋y1＋y2＋…＋ym＝(m＋n)＝(m＋n)α＋(m＋n)(1－α)，∴n＋m＝(m＋n)α＋(m＋n)(1－α)，∴于是有n－m＝(m＋n)[α－(1－α)]＝(m＋n)(2α－1)，∵0<α<，∴2α－1<0，∴n－m<0，即m>n.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2022·璧山质检)沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________．解析 由＝，得n＝33(人)．答案 334．(2022·北京西城一模)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在[16,18]的学生人数是__________________________________________________________________．11\n解析 成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为＝，所以成绩在[16,18]的学生人数为120×＝54.答案 54三、解答题(共25分)5．(12分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2022年开始，对CO2排放量超过130g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：甲80110120140150乙100120xy160经测算发现，乙类品牌车CO2排放量的均值为乙＝120g/km.(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，求x的取值范围．解 (1)甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值甲＝＝120(g/km)，甲类品牌汽车的CO2排放量的方差s＝＝600.(2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值乙＝＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差s＝，因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s<s，解得90<x<130.6．(13分)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序11\n平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工(2)的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．解 (1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为k＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为＝(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，所以样本方差为：s2＝(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A，它包括的事件有(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)共4个．故所求概率为P(A)＝＝.11\n一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·新课标全国)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则( )．A．ABB．BAC．A＝BD．A∩B＝∅解析 A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，则BA.答案 B2．(2022·浙江)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{3，4，5}，则P∩(∁UQ)＝( )．A．{1，2，3，4，6}B．{1，2，3，4，5}C．{1，2，5}D．{1，2}解析 ∁UQ＝{1，2，6}，∴P∩(∁UQ)＝{1，2}．答案 D3．(2022·郑州三模)设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁UM＝( )．A．{1，4}B．{1，5}C．{2，3}D．{3，4}解析 U＝{1，2，3，4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，∴∁UM＝{1，4}．答案 A4．(2022·长春名校联考)若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁RA)∩B＝( )．A．{x|－1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．∅解析 ∁RA＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，∴(∁RA)∩B＝{x|0≤x≤1}．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·湘潭模拟)设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________．解析 ∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.答案 16．(2022·天津)集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．解析 由|x－2|≤5，得－5≤x－2≤5，即－3≤x≤7，所以集合A中的最小整数为－3.答案 －3三、解答题(共25分)11\n7．(12分)若集合A＝{－1，3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.解 ∵A＝B，∴B＝{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1，3}．∴∴a＝－2，b＝－3.8．(13分)已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B.解 (1)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B.∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝－3或a＝3.经检验a＝5或a＝－3符合题意．∴a＝5或a＝－3.(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A且9∈B，由(1)知a＝5或a＝－3.当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，此时A∩B＝{9}；当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，不合题意．综上知a＝－3.B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·南昌一模)已知全集U＝R，函数y＝的定义域为M，N＝{x|log2(x－1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是( )． A．[－2，1)B．[－2，2]C．(－∞，－2)∪[3，＋∞)D．(－∞，2)解析 图中阴影表示的集合是(∁UN)∩M，又M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，N＝(1，3)，(∁UN)＝(－∞，1]∪[3，＋∞)，故(∁UN)∩M＝(－∞，－2)∪[3，＋∞)．答案 C11\n2．(2022·潍坊二模)设集合A＝，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝( )．A．[－2，2]B．[0，2]C．[0，＋∞)D．{(－1，1)，(1，1)}解析 A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0，2]．答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．解析 ①中－4＋(－2)＝－6∉A，所以不正确．②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确．③令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，3∈A1，2∈A2，但是，3＋2∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．答案 ②4．已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，若A∩B＝{x|－1<x<4}，则实数m的值为________．解析 由≥1，得≤0，∴－1<x≤5，∴A＝{x|－1<x≤5}．∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8.答案 8三、解答题(共25分)5．(12分)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C.解 由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5.∴A＝{3，5}．(1)当a＝时，由x－1＝0，得x＝5.11\n∴B＝{5}，∴BA.(2)∵A＝{3，5}且B⊆A，∴若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0.若B≠∅，则a≠0，由方程ax－1＝0，得x＝，∴＝3或＝5，即a＝或a＝，∴C＝.6．(13分)(2022·衡水模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁IM)∩N；(2)记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．解 (1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，∴(∁IM)∩N＝{2}．(2)A＝(∁IM)∩N＝{2}，∵B∪A＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或B＝{2}．当B＝∅时，a－1>5－a，∴a>3；当B＝{2}时，解得a＝3.综上所述，所求a的取值范围是{a|a≥3}．11
