第8讲二项分布与正态分布A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·湖北)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )．A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576解析 P＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864.答案 B2．(2022·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )．A.B.C.D.解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.答案 A3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )．A．[0.4,1]B．(0,0.4]C．(0,0.6]D．[0.6,1]解析 设事件A发生的概率为p，则Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.答案 A4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于( )．A．1B．2C．3D．4解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x＝2对称，于是＝2，∴c＝2.7\n答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·丰都二模)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析 由已知条件第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P(A)＝0.8，P＝P＝(1－P(A)]P(A)P(A)＝0.128.答案 0.1286．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X≤1)＝0.8413，则P(－1<X<0)＝________.解析 ∵P(X≤1)＝0.8413，∴P(X>1)＝1－P(X≤1)＝1－0.8413＝0.1587.∵X～N(0,1)，∴μ＝0.∴P(X<－1)＝P(X>1)＝0.1587，∴P(－1<X<1)＝1－P(X<－1)－P(X>1)＝0.6826.∴P(－1<X<0)＝P(－1<X<1)＝0.3413.答案 0.3413三、解答题(共25分)7．(12分)设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解 由题意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝2P(X－μ<－σ)＋0.6826＝1，∴P(X－μ<－σ)＝0.1587，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.1587＝0.8413.∴54×0.8413≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝0.6826＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.1587.∴54×0.1587≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．7\n8．(13分)(2022·重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布与期望．解 设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝，P(Bk)＝(k＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝P(A1)＋P()P()P(A2)＋P()P()P()P()P(A3)＝＋××＋2×2×＝＋＋＝.(2)ξ的所有可能值为1,2,3由独立性，知P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(B1)＝＋×＝，P(ξ＝2)＝P(A2)＋P(B2)＝××＋2×2＝，P(ξ＝3)＝P＝2×2＝.综上知，ξ的分布为ξ123P从而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝(次)．B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·金华模拟)已知三个正态分布密度函数φi(x)＝·e－(x∈R，i7\n＝1,2,3)的图象如图所示，则( )．A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析 正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.答案 D2．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )．A.5B．C5C．C3D．CC5解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C3·2＝C5＝C5，故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2022·湘潭二模)如果X～B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，k＝________.解析 当p＝时，P(X＝k)＝Ck·20－k＝C·20，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．答案 104．(2022·石柱一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小1球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B7\n袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________．解析 记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝3＋3＝，从而P(A)＝1－P(B)＝1－＝.答案 三、解答题(共25分)5．(12分)(2022·湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝.X的分布为X11.522.53PX的数学期望为E(X)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则7\nP(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝×＋×＋×＝.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.6．(13分)(2022·山东)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布及数学期望E(X)．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.由题意，知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，由于A＝B＋C＋D，根据事件的独立性和互斥性，得P(A)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)＝××＋××＋××＝.(2)根据题意，知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P(X＝0)＝P()＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝××＝；P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P()7\n＝××＝；P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝××＋××＝；P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)＝××＋××＝；P(X＝4)＝P(CD)＝××＝，P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.故X的分布为X012345P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.7
