课时作业(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．(2015·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．①②B．②③C．④D．①②③答案：D解析：④中原命题为假命题，应为若A∩B＝B，则B⊆A，故其逆否命题为假命题，故应选D.2．(2015·北京东城区4月)若集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由题意知，A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1＋a<x<1＋a}，若B⊆A，则解得2≤a≤3，所以必要性不成立．反之，若2<a<3，则必有B⊆A成立，所以充分性成立，故应选A.3．(2014·浙江)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，若(a＋bi)2＝2i，则有a＝b＝－1或a＝b＝1，故应选A.4．(2015·青岛质检)设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件5\nC．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，可得f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0对任意x∈R恒成立，即m≥[－(3x2＋4x)]max，而－(3x2＋4x)＝－32＋≤，因此m≥；由m≥，可推出f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0，所以p是q的充要条件．故应选C.5．设集合A，B是全集U的两个子集，则AB是(∁UA)∪B＝U的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：如图所示，AB⇒(∁UA)∪B＝U，但(∁UA)∪B＝UAB，如A＝B，所以AB是(∁UA)∪B＝U的充分不必要条件．故应选A.6．(2015·淄博模拟)“a＞b且c＞d”是“ac＞bd”成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：D解析：因为a＞b且c＞dac>bd，ac>bda>b且c>d，所以“a>b且c>d”是“ac>bd”成立的既不充分也不必要条件，故应选D.7．已知f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝kx－1，则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：“f(x)≥g(x)在R上恒成立”，则x2－2x＋3≥kx－1，恒成立，即x2－(2＋k)x＋4≥0恒成立，由Δ＝(2＋k)2－16≤0，得－6≤k≤2.显然|k|≤2，即－2≤k≤2是上述k的取值范围的真子集．故应选A.8．设{an}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的( )5\nA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：易知若数列{an}为递增数列，则有a1<a2<a3，反之若等比数列{an}满足a1<a2<a3，则⇒或此时满足条件的等比数列{an}均为递增数列，故为充分必要条件．故应选C.9．(2015·桂林模拟)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，5)B．(－∞，5]C．(5，＋∞)D．[5，＋∞)答案：A解析：由题意可知，AB，又A＝{x|x>5}，B＝{x|x>a}，如图所示，由图可知，a<5.故应选A.10．“对任意的正整数n，不等式nlga<(n＋1)lgaa(a>0)都成立”的一个充分不必要条件是( )A．0<a<1 B．0<a<C．0<a<2 D．0<a<或a>1答案：B解析：根据题意可先确定命题的充要条件，不等式等价于[n－(n＋1)a]lga<0.当a>1时，只需n－(n＋1)a<0，此时不等式恒成立；当0<a<1时，需n－(n＋1)a>0，整理，得a<，要使不等式恒成立，只需0<a<即可．综上，不等式成立的充要条件为0<a<或a>1，故其一个充分不必要条件是上述a的取值范围的一个真子集，只有B选项符合条件．故应选B.二、填空题5\n11．命题“若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案：2解析：由Δ＝1＋4m≥0，解得m≥－，故原命题及其逆否命题是真命题．逆命题“若关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根，则m>0”是假命题，从而否命题也是假命题，故共有2个真命题．12．下列命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若sinα＝sinβ，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案：①③④解析：对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°＝sin150°30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．13．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．答案：(－∞，0]解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}．∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.14．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.答案：3或4解析：∵x2－4x＋n＝0有整数根且n∈N*，∴x＝＝2±，∴4－n为某个整数的平方且4－n≥0，∴n＝3或n＝4.∴当n＝3时，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3；当n＝4时，x2－4x＋4＝0，解得x＝2.5\n∴n＝3或n＝4.15．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．答案：[2,4]解析：由题意，p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.∴¬p：x<1或x>5.易得q：m－1≤x≤m＋1，∴¬q：x<m－1或x>m＋1.又∵¬p是¬q的充分不必要条件，∴∴2≤m≤4.5
