《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：8-7[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A．x2＝4y B．x2＝－4yC．y2＝－12xD．x2＝－12y解析：由题意得c＝＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)．∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.答案：D2．(2022年长沙模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．答案：C3．(2022年郑州模拟)已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.或B.或-8-\nC.或D.解析：由焦点弦长公式|AB|＝得＝12，∴sinθ＝，∴θ＝或.答案：B4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝( )A．9B．6C．4D．3解析：由于抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，由＋＋＝0，可取＝(－1,0)，此时，＋＝(1,0)，注意到对称性，可令A的坐标为，C的坐标为.于是，可得||＋||＋||＝2＋1＝5＋1＝6.选B.答案：B5．(2022年高考安徽卷)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )A.B.C.D．2解析：利用抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系求解．如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标y＝2，-8-\n∴A(2,2)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B，∴S△AOB＝|OF|·|yA－yB|＝×1×|2＋|＝.故选C.答案：C二、填空题6．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．解析：依题意得，直线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x＝－的距离等于半径4，于是有3＋＝4，即p＝2.答案：27．(2022年南京模拟)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________.解析：如图，过N作准线的垂线，垂足为H，则|NF＝＝|MN|，∴cos∠MNH＝，∴∠MNH＝，∴∠NMF＝.-8-\n答案：8．已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时点P的坐标是________．解析： 设P则＝，＝，·＝·＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．答案：(0,0)9．(2022年高考陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽____________m.解析：用数形结合法．建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.当水面下降1m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2m.答案：2-8-\n三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．解析：根据已知条件，抛物线方程可设为y2＝－2px(p>0)，则焦点F.∵点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5，得方程组解得或∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.11．(2022年厦门模拟)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①y＝4x2，②∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．-8-\n12．(能力提升)如图，过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P(0，m)(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．(1)设点P满足＝λ(λ为实数)，证明：⊥(－λ)；(2)设直线AB的方程是x－2y＋12＝0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．解析：(1)依题意，可设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入抛物线方程x2＝4y，得：x2－4kx－4m＝0.①设A，B两点的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，所以，x1x2＝－4m.由点P满足＝λ(λ为实数，λ≠－1)，得＝0，即λ＝－.又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是(0，－m)，从而＝(0,2m)．－λ·＝(x1，y1＋m)－λ(x2，y2＋m)＝(x1－λx2，y1－λy2＋(1－λ)m)．·(－λ)＝2m＝2m＝2m(x1＋x2)·＝2m(x1＋x2)·＝0，所以⊥(－λ)．(2)由得点A，B的坐标分别是(6,9)，(－4,4)．由x2＝4y得y＝x2，y′＝x，所以，抛物线x2＝4y在点A处切线的斜率为y′|x＝6＝3.设圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，-8-\n则解得：a＝－，b＝，r2＝(a＋4)2＋(b－4)2＝.所以，圆C的方程是2＋2＝.[因材施教·学生备选练习]1．(2022年聊城模拟)已知A、B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若＝－4，则直线AB的斜率为( )A．±B．±C．±D．±解析：∵＝－4，∴||＝4||，设|BF|＝t，则|AF|＝4t，如图所示，点A、B在抛物线C的准线上的射影分别为A1、B1，过A作BB1的垂线，交线段B1B的延长线于点M，则|BM|＝|AA1|－|BB1|＝|AF|－|BF|＝3t.又|AB|＝|AF|＋|BF|＝5t，∴|AM|＝＝4t，∴tan∠ABM＝.由对称性可知，这样的直线AB有两条，其斜率为±.答案：D2．(2022年郑州质检)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.答案：2-8-\n-8-
