《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：8-2[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2022年滨州模拟)当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：解方程组得两直线的交点坐标为，因为0<k<，所以<0，>0，故交点在第二象限．答案：B2．(2022年茂名模拟)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )A. B．－C．－D.解析：设P(xP，yP)，由题意及中点坐标公式，得xP＋7＝2，解得xP＝－5，∴P(－5,1)，∴直线l的斜率k＝＝－.答案：B3．(2022年武汉模拟)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )-7-\nA.B．－C．－或－D.或解析：由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.答案：C4．(2022年广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0解析：由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x－2y＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得＝，即x＋2y－3＝0.答案：D5．(2022年成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )A．2B．6C．3D．2解析：如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|.由对称性，D，M，N，C共线，∴|CD|即为所求，由两点间的距离公式得|CD|＝＝2.答案：A二、填空题6．若点(1,1)到直线xcosα＋ysinα＝2的距离为d，则d的最大值是________．解析：依题意有d＝|cosα＋sinα－2|＝.于是当sin＝－1时，d取得最大值2＋.-7-\n答案：2＋7．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．解析：由题意得，＝≠，∴a＝－4且c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，由两平行线间的距离，得＝，解得c＝2或c＝－6，所以＝±1.答案：±18．(2022年安庆模拟)从点(2,3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为________．解析：由题意得，射出的光线方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＋4＝0，与y轴交点为(0,2)，又(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，∴反射光线所在直线过(0,2)，(－2,3)．故方程为y－2＝x，即x＋2y－4＝0.答案：x＋2y－4＝09．(2022年绍兴模拟)已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝.答案：三、解答题-7-\n10．直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．解析：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0.11．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解析：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴＝3.解得λ＝2或λ＝.∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由得P(2,1)．如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝.12．(能力提升)(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．解析：(1)如图甲所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．-7-\n设B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，即·3＝－1.∴a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为，且中点在直线l上，∴3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.解方程组得即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．(2)如图乙所示，设C关于l的对称点为C′，连接AC′交l于点Q，此时的Q满足|QA|＋|QC|的值最小．设C′的坐标为(x′，y′)，∴解得∴C′.由两点式得直线AC′的方程为-7-\n＝，即19x＋17y－93＝0.解方程组得∴所求点Q的坐标为.[因材施教·学生备选练习]1．(2022年武汉调研)点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最短距离为( )A.B.C．2D．2解析：当点P为直线y＝x＋2平移到与曲线y＝x2－lnx相切的切点时，点P到直线y＝x＋2的距离最短．设点P(x0，y0)，f(x)＝x2－lnx，则f′(x0)＝1.∵f′(x)＝2x－，∴2x0－＝1.又x0>0，∴x0＝1.∴点P的坐标为(1,1)，此时点P到直线y＝x＋2的距离为＝.答案：B2．(2022年武汉模拟)已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4.∵点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2,1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，-7-\n∴kA1F＜kFD，即kFD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)-7-
