《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：6-3[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2022年南昌模拟)实数x，y满足条件则该目标函数z＝3x＋y的最大值为( )A．10 B．12C．14D．15解析：在平面直角坐标系中画出题中不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线3x＋y＝0，平移直线3x＋y＝0，当平移到经过该平面区域内的点(3,1)时，相应直线在y轴上的截距最大，此时目标函数z＝3x＋y取得最大值，最大值是z＝3×3＋1＝10，选A.答案：A2．(2022年乌鲁木齐模拟)设不等式组表示的区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D内的点，则a的取值范围是( )A．(0,1)B．(1,2)C．[2,4]D．[2，＋∞)解析：依题意，根据题中的不等式组表示的平面区域D，要使指数函数y＝ax的图象上存在区域D内的点，则点(2，a2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a2≥4，∴a≥2或a≤－2，又a＞0且a≠1，∴a≥2，选D.答案：D-8-\n3．(2022年北京东城模拟)已知约束条件若目标函数z＝x＋ay(a＞0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为( )A．0＜a＜ B．a≥C．a＞D．0＜a＜解析：如图，约束条件为图中的三角形区域ABC.目标函数化为y＝－x＋，当z最大时，最大，根据图形只要－＞kAB＝－3，即a＞即可．故选C.答案：C4．(2022年烟台模拟)已知A(3，)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足设Z为O在O上的投影，则Z的取值范围是( )A．[－，]B．[－3,3]C．[－，3]D．[－3，]解析：约束条件所表示的平面区域如图．O在O上的投影为|O|cosθ＝2cosθ(θ为O与O的夹角)，∵∠xOA＝30°，∠xOB＝60°，∴θ∈[30°，150°]．∴2cosθ∈[－3,3]，故选B.答案：B5．(2022年高考四川卷)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A-8-\n原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元解析：利用线性规划知识求解．设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元，则z＝300x＋400y.作出可行域，如图阴影部分所示．作直线300x＋400y＝0，向右上平移，过点A时，z＝300x＋400y取最大值，由得∴A(4,4)，∴zmax＝300×4＋400×4＝2800.答案：C二、填空题6．(2022年大同模拟)不等式组表示的平面区域内到直线y＝2x－4的距离最远的点的坐标为________．解析：在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)及直线y＝2x－4，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，点(－1,0)到直线y＝2x－4的距离最远．答案：(－1,0)7．(2022年高考上海卷)满足约束条件|x|＋2|y|≤2的目标函数z＝y－x-8-\n的最小值是________．解析：画出满足约束条件|x|＋2|y|≤2的可行域，利用线性规划相关知识求解．作出可行域如图所示：由图可知，当目标函数线经过点(2,0)时，目标函数z＝y－x取得最小值，zmin＝0－2＝－2.答案：－28．(2022年黑龙江质检)已知实数x，y满足若z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.答案：19．(2022年大同模拟)在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么a的值为________．解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到直线x＋y＝0与直线x－y＋4＝0的交点坐标是(－2,2)，点(－2,2)到直线x＝a(其中a＞－2)的距离为a＋2.易知直线x＝a与x＋y＝0、x－y＋4＝0的交点坐标分别是(a，－a)、(a,4＋a)．结合图形及题意知[(4＋a)＋a](a＋2)＝9，即(a＋2)2＝9.又易知a＞－2，因此a＝1.-8-\n答案：1三、解答题10．若x，y满足约束条件目标函数z＝kx＋2y仅在(1,1)处取得最小值，求k的取值范围．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝kx＋2y＝0，即y＝－x为目标函数参照线．若－＜0，即k＞0时，需－＞－1，即k＜2，此时0＜k＜2；若－＞0，即k＜0时，需－＜2，即k＞－4，此时－4＜k＜0；若－＝0，即k＝0时，经验证满足题意．综上可知，k∈(－4,2)．11．某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B-8-\n产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？解析：设生产A，B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得目标函数为z＝7x＋12y.作出可行域，如图阴影所示．当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M(20,24)时z取最大值．∴该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．12．(能力提升)设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立．如果实数m，n满足不等式组求m2＋n2的取值范围．解析：依题意得f(1－x)＝－f(1＋x)，则－f(x)＝f(2－x)，由f(m2－6m＋23)＋f(n2－8n)＜0得f(m2－6m＋23)＜－f(n2－8n)＝f[2－(n2－8n)]．又f(x)是定义在R上的增函数，于是有m2－6m＋23＜2－(n2－8n)，即(m－3)2＋(n－4)2＜4.在坐标平面mOn内画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，m2＋n2可视为该平面区域内的点(m，n)与原点间的距离的平方，结合图形知m2＋n2的取值范围是(13,49)．[因材施教·学生备选练习]1．(2022年郑州模拟)若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是( )A．0B．1C.D．9解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线x＋2y＝0，平移直线x＋2y＝0，当平移到经过该平面区域内的点(0,0)时，相应直线在x-8-\n轴上的截距最小，此时x＋2y取得最小值，3x＋2y取得最小值，则z＝3x＋2y的最小值是30＋2×0＝1，故选B.答案：B2．(2022年合肥模拟)已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示．若两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，则的取值范围是( )A.B.C.D.解析：由函数y＝f′(x)的图象可知，当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－2,0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．根据题意知2a＋b＜4，表示的平面区域S是以O(0,0)，A(2,0)，B(0,4)为顶点的三角形(不包括边界)．设P(－3，－3)，则表示平面区域S内的点与点P的连线的斜率，故kPA＜＜kPB，即＜＜，选D.答案：D3．(2022年哈师大附中月考)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|O＋O|的最小值是________．解析：依题意得，O＋O＝(x＋1，y)，|O＋O|＝可视为点(x，y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x＋y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|O＋O|的最小值是＝.-8-\n答案：-8-
