《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：3-3[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难定义域、值域问题4、10、12奇偶性、周期性25、6、7、89单调性1、311一、选择题1．已知函数f(x)＝sinx在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cos的值为( )A．0 B.C．1D．－1解析：因为由题易知[a，b]＝(k∈Z)，所以cos＝cos2kπ＝1.答案：C2．(2022年蓬莱模拟)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1－x2|的最小值为π，则( )A．ω＝2，θ＝B．ω＝，θ＝C．ω＝，θ＝D．ω＝2，θ＝解析：y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数且0<θ<π，则y＝2cosωx，θ＝，所以y＝2cosωx，y∈[－2,2]．故y＝2与y＝2cosωx的交点为最高点，于是最小正周期为π.所以＝π，所以ω＝2，故选A.答案：A3．(2022年惠州模拟)函数y＝log(cosx)的一个单调递减区间是( )A．(－π，0)B．(0，π)-6-\nC.D.解析：由题易知cosx>0，当函数μ＝cosx为增函数时，函数y＝log(cosx)为减函数，则函数y＝log(cosx)的单调递减区间为(k∈Z)，结合选项可知选D.答案：D4．M，N是曲线y＝πsinx与曲线y＝πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为( )A．πB.πC.πD．2π解析：本题是三角函数的最值问题．两函数的图象如图所示，则图中|MN|最小，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＝，x2＝π，|x1－x2|＝π，|y1－y2|＝|πsinx1－πcosx2|＝π＋π＝π，∴|MN|＝＝π.选C.答案：C5．(2022年北京海淀模拟)已知函数f(x)＝cos2x＋sinx，那么下列命题中是假命题的是( )A．f(x)既不是奇函数也不是偶函数B．f(x)在[－π，0]上恰有一个零点C．f(x)是周期函数D．f(x)在上是增函数解析：∵f＝1，f＝－1，即f(－x)≠f(x)，∴f(x)不是偶函数．∵x∈R，f(0)＝1≠0，∴f(x)不是奇函数，故A为真命题；令f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝0，则sin2x－sinx－1＝0，解得sinx＝，当x∈[－π，0]时，sinx＝，由正弦函数图象可知函数f(x)在[－π，0]上有两个零点，故B为假命题；∵f(x)＝f(x＋2π)，∴T＝2π，故函数f(x)为周期函数，C为真命题；∵f′(x-6-\n)＝2cosx·(－sinx)＋cosx＝cosx·(1－2sinx)，当x∈时，cosx<0，<sinx<1，∴f′(x)＝cosx·(1－2sinx)>0，∴f(x)在上是增函数，D为真命题．故选B.答案：B二、填空题6．已知f(n)＝sin(n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝________.解析：由题意知f(1)＝sin＝，f(2)＝sin＝，f(3)＝sinπ＝0，f(4)＝sin＝－，f(5)＝sin＝－，f(6)＝sin2π＝0，f(7)＝sin＝sin＝…由此可得函数f(n)的周期T＝6，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝335×[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(2011)＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＝.答案：7．函数f(x)＝sinπx＋cosπx＋|sinπx－cosπx|对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________．解析：依题意得，当sinπx≥cosπx时，f(x)＝2sinπx；当sinπx<cosπx时，f(x)＝2cosπx.由已知可知f(x1)，f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y＝f(x)的图象可知，|x2－x1|的最小值是.答案：8．已知直线y＝b(b>0)与曲线f(x)＝sinx在y轴右侧依次的三个交点的横坐标x1，x2，x3成等比数列，则b的值为________．解析：依题意得，x2＝π－x1，x3＝2π＋x1，∵x＝x3x1，∴(π－x1)2＝x1·(2π＋x1)，解得x1＝，∴b＝sin＝.答案：9．(2022年苏州模拟)有一种波，其波形为函数y＝sin的图象，若在区间[0，t]上至少有两个波峰(图象的最高点)，则正数t的最小值是________．解析：设函数的周期为T，则由题意知T≤t，即×≤t，解得t≥5.答案：5-6-\n三、解答题10．函数f(x)＝cosx＋2|cosx|在[0,2π]上与直线y＝m有且仅有2个交点，求m的取值范围．解析：f(x)＝如图：由图可知：当m＝0或1<m≤3时，直线y＝m与f(x)的图象有且仅有2个交点．11．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．解析：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，∴sin＝±1.∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.∴φ＝kπ＋，k∈Z.又∵－π<φ<0，∴φ＝－.(2)由(1)知y＝sin，由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.12．(能力提升)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx，x∈(1)求f(x)的零点；-6-\n(2)求f(x)的最大值和最小值．解析：(1)令f(x)＝0，得sinx·(sinx＋cosx)＝0，所以sinx＝0或tanx＝－.由sinx＝0，x∈，得x＝π；由tanx＝－，x∈，得x＝.综上，函数f(x)的零点为或π.(2)f(x)＝(1－cos2x)＋sin2x＝sin＋.因为x∈，所以2x－∈.所以当2x－＝，即x＝时，f(x)的最大值为；当2x－＝，即x＝时，f(x)的最小值为－1＋.[因材施教·学生备选练习]1．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )A．－B．－C.D．－解析：因为函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)是奇函数，所以f(0)＝Acosφ＝0，解得φ＝.因为△EFG是边长为2的等边三角形，所以A＝2×＝，＝2，即T＝4，所以ω＝＝，所以f(x)＝－sinx，故f(1)＝－sin＝－.答案：D2．(2022年郑州模拟)已知曲线y＝2sin·cos与直线y＝相交，若在y-6-\n轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则||等于( )A．πB．2πC．3πD．4π解析：注意到y＝2sincos＝2sin2＝1－cos2(x＋)＝1＋sin2x，又函数y＝1＋sin2x的最小正周期是＝π，结合函数y＝1＋sin2x的图象(如图所示)可知，||＝2π，选B.答案：B3．(2022年保定摸底)在区间上随机取一个数x，则使得tanx∈的概率为( )A.B.C.D.解析：区间的长度为π，当tanx∈时，x的取值范围是，区间长度为，故由几何概型的概率计算公式可得所求的概率为.答案：C-6-
