活页作业 直线、平面垂直的判定及性质一、选择题1．若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解析：对于①，α与β可能平行，故错．②③正确，故选C.答案：C2．(理)a，b，c是三条不同直线，α，β是两个不同平面，b⊂α，c⊄α，则下列命题不成立的是( )A．若α∥β，c⊥α，则c⊥βB．“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题C．若a是c在α内的射影，b⊥a，则c⊥bD．“若b∥c，则c∥α”的逆否命题2．(文)设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：若①，②成立，则l与β内的某一直线a平行，∴a⊥α，∴β⊥α，即③成立；若①③成立，l还可能在β内，∴不能推出l∥β；若②③成立，l也可能平行于α，∴不能推出l⊥α，故只有①②⇒③正确．答案：C3．(理)下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β8\nC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：A正确，只需α内的直线平行于α与β的交线即平行于β；B正确，根据面面垂直的判定定理，若α内存在直线垂直于β，则α⊥β；C正确，设α内a⊥γ，β内b⊥γ，α∩β＝l，则a∥b，所以a∥β，根据线面平行的性质定理，所以a∥l，所以l⊥γ；D错误，平面α内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面β.答案：D3．(文)给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：命题①，④为真，命题②，③为假．答案：B4.如图在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1，AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，因此C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．答案：A5．(理)(2022·昆明模拟)给出下列三个命题：①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”；②“直线a垂直于直线b”的充分非必要条件是“直线a垂直于直线b在平面β内的射影；③“直线a垂直于平面β”的必要非充分条件是“直线a垂直于平面β内的无数条直线”．其中正确的命题个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：对于①，a、b不相交时，a、b可以平行，∴不能推出a、b异面，①8\n错；对于②，只有a在平面β内时才成立，②错；对于③，垂直于平面β内的无数条直线，当这无数条直线都平行时，a不一定垂直于β，而当a⊥β时，a一定能垂直于β内无数条直线，∴③正确，故选B.答案：B5．(文)(2022·大同模拟)设a、b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：C选项中，由b⊥β，α∥β可得b⊥α，又a⊂α，所以b⊥a，故选C.答案：C6．(理)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角6．(文)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥SABC的体积为( )A. B. C. D.解析：如图所示，由题意知，在棱锥SABC中，△SAC，△SBC都是等腰直角三角形，其中AB＝2，SC＝4，SA＝AC＝SB＝BC＝2.取SC8\n的中点D，易证SC垂直于面ABD，因此棱锥SABC的体积为两个棱锥SABD和CABD的体积和，所以棱锥SABC的体积V＝SC·S△ADB＝×4×＝.答案：C二、填空题7．(理)(2022·聊城模拟)等腰直角△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，使得折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为________．解析：如图，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝.∵M为A′C中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角CBMA的平面角．∵AC＝1，MC＝MA＝，∴∠CMA＝90°，故二面角CBMA的大小为90°.答案：90°7．(文)将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值为______．解析：如图所示，取BD中点O，连接AO、OE，则AO⊥BD.∵平面ABD⊥平面CBD，∴AO⊥平面BCD，又OE∥BC，∴∠AEO即为AE、BC所成的角．设正方形的边长为2，则OE＝1，AO＝.∴tan∠AEO＝.答案：8．(理)如图，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝4，当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，可以取______(填上正确的序号)．解析：连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ，又PQ⊥QD，所以AQ⊥QD.故Rt△ABQ∽Rt△QCD.令BQ＝x，则有＝.整理得x2－2x＋a2＝0.8\n由题意可知方程x2－2x＋a2＝0有正实根，所以0＜a≤1.答案：①②8．(文)(2022·南昌模拟)在棱长为1的正方体AC1中，E为AB的中点，点P为侧面BB1C1C内一动点(含边界)，若动点P始终满足PE⊥BD1，则动点P的轨迹的长度为________．解析：如图，根据题意，BD1要始终垂直于PE所在的一个平面，取BC，BB1的中点F，G，易证BD1⊥平面EFG，故点P的轨迹为线段FG，易求得这条线段的长度是.答案：三、解答题9．(理)(2022·陕西高考)(1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．(1)证明：如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.因为PO⊥π，a⊂π，所以直线PO⊥a.又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b＝P，所以a⊥平面PAO.又c⊂平面PAO，所以a⊥c.(2)解：逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．9．(文)(2022·陕西高考)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝.(1)求证：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝，求三棱锥C1ABA1的体积．(1)证明：如图所示，连接AB1.∵三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝，∴AC⊥平面ABB1A1，8\n故AC⊥BA1.又∵AB＝AA1，∴四边形ABB1A1是正方形，∴BA1⊥AB1.又CA∩AB1＝A，∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.(2)解：∵AB＝AA1＝2，BC＝，∴AC＝A1C1＝1.由(1)知，A1C1⊥平面ABA1，∴VC1ABA1＝S△ABA1·A1C1＝×2×1＝.10．(理)(2022·山东高考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值．所以∠FGC为二面角FBDC的平面角．在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，因此CG＝CB.又CB＝CF，8\n所以GF＝＝CG，在Rt△FCG中，∠FCG＝90°，cos∠FGC＝＝，所以二面角FBDC的余弦值为.10．(文)(2022·北京高考)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB.所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.又A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面A1DC.因为A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D.所以A1F⊥平面BCDE.因为BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解：线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：8\n8
