活页作业 正弦定理和余弦定理应用举例一、选择题1.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )A．50m B．50mC．25m D．m2．(理)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )A.海里/小时 B．34海里/小时C.海里/小时 D．34海里/小时解析：如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝(海里/小时)．答案：A2．(文)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )A．5海里 B．5海里 7\nC．10海里 D．10海里解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．答案：C3．(2022·龙岩模拟)如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30米至C处，测得其顶端A的仰角为2θ，再继续前进10米至D处，测得其顶端A的仰角为4θ，则θ的值为( )A．15° B．10° C．5° D．20°4．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )A．15米 B．5米 C．10米 D．12米解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10，或h＝－5(舍去)．答案：C5．(理)如图所示，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河对岸选取相距40米的C，7\nD两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则AB的距离是( )A．40米 B．20米 C．20米 D．20米解析：在△CDB中，∠ADC＝30°，∠ADB＝60°，∴∠CDB＝90°.又∠BCD＝45°，∴∠CBD＝45°，∴BC＝CD＝40.在△ACD中，∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠CDA＝30°，∴∠CAD＝45°.由正弦定理得AC＝＝＝20.∴在△ACB中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos60°＝2400，∴AB＝20(米)．答案：D5．(文)已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( )A．akm B．akm C.akm D．2akm解析：由图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得cos∠ACB＝＝＝－.解得AB＝a(km)．答案：B6.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值为( )A. B． C. D．7\n解析：本题考查正余弦定理的应用及两角和与差的正弦公式．在三角形ABC中，由AC＝10，AB＝20，∠CAB＝120°.由余弦定理可得BC＝10.又由正弦定理可得＝⇒＝⇒sin∠ACB＝.故sinθ＝sin＝×＋×＝.答案：D二、填空题7．(理)(2022·安庆模拟)某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为________．7．(文)(2022·宜春模拟)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.解析：设两船之间的距离是xnmile，由余弦定理可得x2＝502＋302－2×30×50×cos120°，所以x＝70.答案：708.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC＝________.解析：在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2×10×xcos60°，整理得x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．7\n在△BCD中，由正弦定理得＝，∴BC＝·sin30°＝8.答案：8三、解答题9．(理)如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．9．(文)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．7\n解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°，根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得＝，解得sinα＝＝.即红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.10．(金榜预测)在某海域，以点E为中心的7海里以内海域是危险区域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中cosθ＝，0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入危险水域，并说明理由．解：(1)由题知AB＝40，AC＝10，7\n∠BAC＝θ，0°<θ<90°，cosθ＝，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosθ＝(40)2＋(10)2－2×40×10×＝500，∴BC＝10，所以船的行驶速度为＝15(海里/小时)．7
