活页作业 正弦定理和余弦定理一、选择题1．(2022·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝( )A. B．－ C．± D．2．△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于( )A. B． C.或 D．或解析：由正弦定理得＝，∴sinC＝.∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或120°.(1)当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝；(2)当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝××1×sin30°＝.答案：D3．(2022·合肥模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝( )A．30° B．60° C．120° D．150°解析：由sinC＝2sinB，根据正弦定理，得c＝2b，代入a2－b2＝bc，得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.6\n由余弦定理得cosA＝＝＝＝，又∵0°<A<180°，∴A＝30°.答案：A4．(理)在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC是( )A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．答案：B4．(文)在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且sinC＝2sinAcosB，则△ABC是( )A．等边三角形B．等腰三角形，但不是等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形，但不是等腰三角形5．(理)在△ABC中，若AB＝2，AC2＋BC2＝8，则△ABC面积的最大值为( )A. B．2 C. D．3解析：由余弦定理得cosC＝＝，6\n∴S△ABC＝sinC＝＝≤＝.当且仅当AC＝BC时等号成立．答案：C5．(文)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为( )A. B． C. D．－解析：cosC＝＝≥＝.当且仅当a＝b时等号成立．故选C.答案：C6.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为( )A. B． C. D．解析：设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.在△ABD中，由余弦定理，得cosA＝＝＝.又∵A为△ABC的内角，∴sinA＝.在△ABC中，由正弦定理得，＝.6\n∴sinC＝·sinA＝·＝.答案：D二、填空题7．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则＝________.解析：S＝bc·sinA＝×1·c·sin60°＝，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝1＋42－2×1×4×cos60°＝1＋16－2×4×＝13，∴a＝.∴＝＝＝.答案：8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.9．(理)在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sinB，－)，n＝，且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．6\n解：(1)由m∥n得2sinB＝－cos2B∴2sinBcosB＝－cos2B，∴sin2B＝－cos2B，∴tan2B＝－.∵0<2B<π，∴2B＝，∴B＝.(2)已知b＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．∵△ABC的面积S△ABC＝acsinB＝ac≤，∴△ABC的面积S△ABC的最大值为.9．(文)已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，且2cos2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．解：(1)∵f(x)＝sin2x－－＝sin2x－－1，∴函数f(x)的最小值是－2，最小正周期是T＝＝π.6\n(2)由题意得f(C)＝sin－1＝0，∴sin＝1，∵0<C<π，∴－<2C－<π，∴2C－＝，∴C＝，∵m∥n，∴＝，由正弦定理得，＝，①由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos，即3＝a2＋b2－ab，②由①②解得a＝1，b＝2.6
