定积分的简单应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )A．f(x)dxB．C．f(x)dx＋f(x)dxD．f(x)dx－f(x)dxD [在区间[a，b]上图形在x轴下方，积分为负值，∴S＝f(x)dx－f(x)dx.故选D.]2．如图所示，阴影部分的面积是( )A．2 B．2－ C． D．C [S＝(3－x2－2x)dx＝＝.]3．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速运动时，在第1s至第2s之间的1s内经过的路程是( )A．5mB．mC．6mD．mD [根据题意，汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速运动时，汽车在第1s至第2s之间的1s内经过的路程s＝(3t＋2)dt＝＝m，故选D.]6
4．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )A．mB．mC．mD．mA [v＝0时物体达到最高，此时40－10t2＝0，则t＝2s.又∵v0＝40m/s，∴t0＝0s．∴h＝(40－10t2)dt＝＝(m)．]5．如果1N的力使弹簧伸长1cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为( )A．0.5JB．1JC．50JD．100JA [由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为W＝F(x)dx＝xdx＝x2＝50(N·cm)＝0.5(J)．]二、填空题6．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成图形的面积是，则c＝________. [由得由题意可知(x2－cx3)dx＝，即＝－＝，解得c＝.]7．质点运动的速度是(18t－3t2)m/s，质点在[0,8]时间段内所通过的路程为________．152m [路程s＝(18t－3t2)dt＋(3t2－18t)dt＝(9t2－t3)＋(t3－9t2)＝9×62－63＋83－9×82－63＋9×62＝152(m)．]8．如图所示，阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．6
＋ln2 [S＝dx＋dx＝x＋lnx＝＋ln2.]三、解答题9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．[解] 由题图知方程f(x)＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，所以f(x)＝x2(x＋a)．有＝[0－(x3＋ax2)]dx＝－＝，所以a＝±3.又－a＞0⇒a＜0，所以a＝－3.10．一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：(1)此点在t＝4s时的位置；(2)此点在t＝4s时运动的路程．[解] 因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负．(1)在t＝4s时，该点的位移为(t2－4t＋3)dt＝＝(m)．即在t＝4s时该点在距出发点m处．(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，∴在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，∴该点在t＝4s时的路程为S＝(t2－4t＋3)dt＋＋(t2－4t＋3)dt＝(t2－4t＋3)dt－(t2－4t＋3)dt＋(t2－4t＋3)dt＝4(m)．6
1.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的图形的面积为( )A． B． C． D．B [由图可知f(x)＝－x2＋1.∴f(x)与x轴围成的图形的面积S＝(1－x2)dx＝＝－＝＋＝.]2．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A．1＋25ln5B．8＋25lnC．4＋25ln5D．4＋50ln2C [令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，∴汽车行驶距离s＝dt＝7t－t2＋25ln(1＋t)＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.]3．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为________． [由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6.由得C(2,2)．∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx＝×2×2－＝2－＝.]6
4．如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B，C运动到D，其中AB＝50m，BC＝40m，CD＝30m，变力F＝(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，则物体由A运动到D所做的功为________．(≈1.732，≈1.414，精确到1J)1723J [在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos30°，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos45°.由变力做功公式得：W＝cos30°dx＋cos45°dx＋600＝＋＋600＝＋450＋600≈1723(J)．所以物体由A运动到D变力F所做的功为1723J．]5.已知S1为直线x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积，S2为直线x＝2，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积(t为常数)．(1)若t＝，求S2；(2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值．[解] (1)当t＝时，S2＝[2－(4－x2)]dx＝＝(－1)．(2)当t∈(0,2)时，S1＝[(4－x2)－(4－t2)]dx＝＝t3.S2＝[(4－t2)－(4－x2)]dx＝＝－2t2＋t3.所以S＝S1＋S2＝t3－2t2＋.S′＝4t2－4t＝4t(t－1)，令S′＝0，得t＝0(舍去)或t＝1，当0＜t＜1时，S′＜0，S单调递减，6
当1＜t＜2时，S′＞0，S单调递增，所以当t＝1时，Smin＝2.6
