定积分的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列结论中成立的个数是( )①x3dx＝·；②x3dx＝·；③x3dx＝·.A．0 B．1C．2D．3C [由定积分的概念可知②③正确，①错误，故选C.]2．关于定积分a＝(－2)dx的叙述正确的是( )A．被积函数为y＝2，a＝6B．被积函数为y＝－2，a＝6C．被积函数为y＝－2，a＝－6D．被积函数为y＝2，a＝－6C [由定积分的概念可知，被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义可知a＝－6.故选C.]3．变速直线运动的物体的速度为v(t)≥0，初始t＝0时所在位置为s0，则当t1秒末它所在的位置为( )A．v(t)dtB．s0＋v(t)dtC．v(t)dt－s0D．s0－v(t)dtB [由位移是速度的定积分，同时不可忽视t＝0时物体所在的位置，故当t1秒末它所在的位置为s0＋v(t)dt.]4．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝( )A．2B．－3C．－1D．4C [[2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.]5．若f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于( )A．0B．4C．8D．16D [∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y5
轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．]二、填空题6．若[f(x)＋g(x)]dx＝3，[f(x)－g(x)]dx＝1，则[2g(x)]dx＝________.2 [[2g(x)]dx＝[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]dx＝[f(x)＋g(x)]dx－[f(x)－g(x)]dx＝3－1＝2.]7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．dx [如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx－dx＝dx.]8．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为__________km.66 [以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．]三、解答题9．已知xdx＝，x2dx＝，求下列定积分的值．(1)(2x＋x2)dx；(2)(2x2－x＋1)dx.[解] (1)(2x＋x2)dx＝2xdx＋x2dx＝2×＋＝e2＋.(2)(2x2－x＋1)dx＝2x2dx－xdx＋1dx，因为已知xdx＝，x2dx＝，又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，所以1dx＝1×e＝e，故(2x2－x＋1)dx＝2×－＋e＝e3－e2＋e.10．利用定积分的几何意义求下列定积分．5
(1)dx；(2)(2x＋1)dx；(3)(x3＋3x)dx.[解] (1)曲线y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图①所示．其面积为S＝·π·32＝π.由定积分的几何意义知dx＝π.(2)曲线f(x)＝2x＋1为一条直线.(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图②.其面积为S＝(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知(2x＋1)dx＝12.(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知(x3＋3x)dx＝0.1．已知f(x)＝x3－x＋sinx，则f(x)dx的值为( )A．等于0B．大于0C．小于0D．不确定A [由题意知f(x)为奇函数，由奇函数的性质有f(x)dx＝－f(x)dx，而f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝0.]2．与定积分|sinx|dx相等的是( )A．5
B．sinxdxC．sinxdx－sinxdxD．sinxdx＋sinxdxC [当x∈(0，π]时，sinx≥0；当x∈时，sinx＜0.∴由定积分的性质可得|sinx|dx＝|sinx|dx＋|sinx|dx＝sinxdx＋(－sinx)dx＝sinxdx－sinxdx.]3．定积分dx的值为________． [因为y＝，所以(x－1)2＋y2＝1，它表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．定积分dx就是该圆的面积的四分之一，所以定积分dx＝.]4．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时，第1s到第2s间的1s内经过的路程是________m.6.5 [由题意知，所求路程为直线x＝1，x＝2，y＝0与y＝3x＋2所围成的直角梯形的面积，故s＝×(5＋8)×1＝6.5(m)．]5．如图所示，抛物线y＝x2将圆x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为＋，求(－x2)dx.5
[解] 解方程组得x＝±2.∴阴影部分的面积为(－x2)dx.∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·＝2π＋.由定积分的几何意义得，(－x2)dx＝(－x2)dx＝π＋.5
