第五章第二节等差数列及其前n项和一、选择题1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝20，则a7＋a8＋a9＝( )A．63B．45C．36D．272．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a8＝15－a5，则S9等于( )A．18B．36C．45D．603．在等差数列{an}中，an＜0，a＋a＋2a3a8＝9，那么S10等于( )A．－9B．－11C．－13D．－154．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为( )A．－2B．－3C．－4D．－65．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( )A．8B．7C．6D．56．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝( )A．0B．3C．8D．11二、填空题7．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.8．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.9．在等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a5＝13，则a5＋a6＋a7＝________.三、解答题10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，则数列{bn}的最小项是第几项？并求出该项的值．5\n11．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．12．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn满足关系式2Sn＝Sn－1－()n－1＋2(n≥2，n为正整数)，a1＝.(1)令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)在(1)的条件下，求Sn的取值范围．详解答案一、选择题1．解析：由S3＝9，S5＝20，得d＝1，a1＝2，∴a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝3×9＝27.答案：D2．解析：∵{an}为等差数列，a2＋a8＝15－a5∴3a5＝15，即a5＝5.∴S9＝＝9a5＝45.答案：C5\n3．解析：由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an＜0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝＝5(a3＋a8)＝5×(－3)＝－15.答案：D4．解析：an＝23＋(n－1)d，由题意知，，即，解得－＜d＜－，又d为整数，所以d＝－4.答案：C5．解析：依题意得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k＝5.答案：D6．解析：因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，故公差d＝＝2.于是b1＝－6，且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8，所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.答案：B二、填空题7．解析：依题意得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3＋a7)＝74.答案：748．解析：设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋d＝4×1＋d，所以d＝－.又ak＋a4＝0，所以[1＋(k－1)×(－)]＋[1＋(4－1)×(－)]＝0.即k＝10.答案：109．解析：由a1＋a6＝a2＋a5得a6＝11.则a5＋a6＋a7＝3a6＝33.答案：33三、解答题5\n10．解：(1)设公差为d，则有，即解得.所以an＝3n－2.(2)Sn＝[1＋(3n－2)]＝所以bn＝＝3n＋－1≥2－1＝23.当且仅当3n＝，即n＝4时取等号，故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.11．解：(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5.所以a6＝－3－5＝－8，所以，解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9a1d＋10d2＋1＝0.两边同乘以8，得16a＋72a1d＋80d2＋8＝0，化简得(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2或d≥2.12．解：(1)由2Sn＝Sn－1－()n－1＋2，得2Sn＋1＝Sn－()n＋2，两式相减得2an＋1＝an＋()n，上式两边同乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1＝bn＋1，所以bn＋1－bn＝1，故数列{bn}是等差数列，且公差为1，又因为b1＝2a1＝1，所以bn＝1＋(n－1)×1＝n，因此2nan＝n，从而an＝n·()n.(2)由于2Sn＝Sn－1－()n－1＋2，所以2Sn－Sn－1＝2－()n－1，即Sn＋an＝2－()n－1，Sn＝2－()n－1－an，而an＝n·()n，所以Sn＝2－()n－1－n·()n＝2－(n＋2)·()n.所以Sn＋1＝2－(n＋3)·()n＋1，且Sn＋1－Sn＝＞0，所以Sn≥S1＝，又因为在Sn5\n＝2－(n＋2)·()n中，(n＋2)·()n＞0，故Sn＜2，即Sn的取值范围是[，2)．5
