【高考领航】2022高考数学总复习5-2等差数列及其前n项和练习苏教版【A组】一、填空题1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝________.解析：∵a3＋a4＋a5＝12∴a4＝4则a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.答案：282．(2022·高考江西卷)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝________.解析：∵S10＝S11，∴a11＝0.∴a1＋10d＝0.∴a1＝－10d＝20.答案：203．(2022·高考湖北卷)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________．解析：设最上面一节的容积为a1，公差为d，则有即解得则a5＝，故第5节的容积为升．答案：升4．(2022·高考重庆卷)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.解析：a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74.答案：745．(2022·苏北四校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－6\n＝1，则公差为________．解析：依题意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差为6.答案：66．(2022·高考北京卷)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝________；Sn＝________.解析：由题意得∴∴a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋n(n－1)×＝n2＋.答案：1 n2＋n7．(2022·高考广东卷)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.解析：设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋d＝4×1＋d，所以d＝－.又ak＋a4＝0，所以＋＝0，即k＝10.答案：10二、解答题8．(2022·高考福建卷)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.6\n所以Sn＝＝2n－n2.进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7为所求结果．9．(2022·长春名校联考)若数列{an}满足：a1＝，a2＝2，3(an＋1－2an＋an－1)＝2.(1)证明数列{an＋1－an}是等差数列；(2)求使＋＋＋…＋>成立的最小的正整数n.解：(1)证明：由3(an＋1－2an＋an－1)＝2可得an＋1－2an＋an－1＝，即(an＋1－an)－(an－an－1)＝，∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝为首项，为公差的等差数列．(2)解：由(1)知an＋1－an＝＋(n－1)＝(n＋1)，累加求和得an＝a1＋(2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，∴＝3，∴＋＋＋…＋＝3－>，∴n>5，∴最小的正整数n为6.【B组】一、填空题1．(2022·江苏扬州一模)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，Q(2011，a2011)，则·等于________．解析：由已知S21＝S4000，则a22＋a23＋…＋a4000＝0，设{an}的公差为d，则＝0，又a22＋a4000＝2a2011，所以a2011＝0，所以·＝2011＋an·a2011＝2011.答案：20112．(2022·江苏八所重点中学联考)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≥10，S5≤15，6\nS7≥21，则a7的取值区间为________．解析：由题意得即作出可行域(如图所示阴影部分)．可求得A(1,1)，B(3,0)，C，当直线a7＝a1＋6d分别过点A和B时求得a7的最大值和最小值分别为7和3，所以a7的取值范围为[3,7]．答案：[3,7]3．(2022·河南重点中学联考)已知{an}为等差数列，a3＝7，a1＋a7＝10，Sn为其前n项和，则使Sn取到最大值的n等于________．解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得故d＝a4－a3＝－2，an＝a3＋(n－3)d＝13－2n.令an>0，得n<6.5，因此，在等差数列{an}中，前6项均为正，其他各项均为负，于是使Sn取到最大值的n的值为6.答案：64．(2022·苏南八校三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a10＝1，则S19＝________.解析：S19＝＝19a10＝19.答案：195．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}的前9项和S9等于________．解析：∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9，则S9＝(a1＋a9)＝(a4＋a6)＝×(13＋9)＝99.答案：996．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.6\n解析：a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，Sk＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.答案：37．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．解析：∵{an}，{bn}为等差数列，∴＋＝＋＝＝＝.∵＝＝＝＝，∴＝.答案：二、解答题8．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk＝2550，求a和k的值；(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．解：(1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，又a1＋a3＝2a2，∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3.∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.由Sk＝ka1＋d，得2k＋×2＝2550，即k2＋k－2550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)．∴a＝3，k＝50.(2)由Sn＝na1＋d得Sn＝2n＋×2＝n2＋n.6\n∴bn＝＝n＋1，∴{bn}是等差数列，则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n－1＋1)＝.∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝2n2＋2n.9．(2022·宿迁质检)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解：a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有解得从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.6
