第2讲等差数列及其前n项和A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )．A．1B．2C．3D．4解析 在等差数列{an}中，∵a1＋a5＝10.∴2a3＝10，∴a3＝5，又a4＝7，∴所求公差为2.答案 B2．(2022·山东实验中学诊断)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，那么S9＝( )．A．2B．8C．18D．36解析 设等差数列的公差为d，则由a1＋a3＋a11＝6，可得3a1＋12d＝6，∴a1＋4d＝2＝a5.∴S9＝＝9a5＝9×2＝18.答案 C3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )．A．－1B．1C．3D．7解析 两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.答案 B4．(2022·沙坪坝一模)在等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为( )．A．6B．7C．8D．9解析 依题意得S15＝＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·江西)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b55\n＝________.解析 设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.答案 356．(2022·沈阳四校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－＝1，则公差为________．解析 依题意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差为6.答案 6三、解答题(共25分)7．(12分)在等差数列{an}中，已知a2＋a7＋a12＝12，a2·a7·a12＝28，求数列{an}的通项公式．解 由a2＋a7＋a12＝12，得a7＝4.又∵a2·a7·a12＝28，∴(a7－5d)(a7＋5d)·a7＝28，∴16－25d2＝7，∴d2＝，∴d＝或d＝－.当d＝时，an＝a7＋(n－7)d＝4＋(n－7)×＝n－；当d＝－时，an＝a7＋(n－7)d＝4－(n－7)×＝－n＋.∴数列{an}的通项公式为an＝n－或an＝－n＋.8．(13分)在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0，则由得解得∴an＝4n－3(n∈N*)．(2)由bn＝＝＝，5\n∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列．B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·咸阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )．A．12B．14C．16D．18解析 Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.答案 B2．(2022·广州一模)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数的个数是( )．A．2B．3C．4D．5解析 由＝得：＝＝＝，要使为整数，则需＝7＋为整数，所以n＝1,2,3,5,11，共有5个．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2022·徐州调研)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．解析 ∵an＝2n＋1，∴a1＝3，∴Sn＝＝n2＋2n，∴＝n＋2，∴是公差为1，首项为3的等差数列，5\n∴前10项和为3×10＋×1＝75.答案 754．(2022·诸城一中月考)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析 设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，∴＝＝，解得n＝3，∴项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．答案 11 7三、解答题(共25分)5．(12分)在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.解 (1)由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差数列，且公差d＝＝＝－2.∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10.(2)令an≥0，得n≤5.即当n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0.∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n；当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5)＝－(－n2＋9n)＋2×(－52＋45)＝n2－9n＋40，∴Sn＝6．(13分)(2022·四川)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n5\n都成立．(1)求a1，a2的值；(2)设a1＞0，数列的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．解 (1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①取n＝2，得a＝2a1＋2a2，②由②－①，得a2(a2－a1)＝a2，③(i)若a2＝0，由①知a1＝0，(ii)若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④由①、④解得，a1＝＋1，a2＝2＋；或a1＝1－，a2＝2－.综上可得a1＝0，a2＝0；或a1＝＋1，a2＝＋2；或a1＝1－，a2＝2－.(2)当a1＞0时，由(1)知a1＝＋1，a2＝＋2.当n≥2时，有(2＋)an＝S2＋Sn，(2＋)an－1＝S2＋Sn－1，所以(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)，所以an＝a1()n－1＝(＋1)·()n－1.令bn＝lg，则bn＝1－lg()n－1＝1－(n－1)lg2＝lg，所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg2)，从而b1＞b2＞…＞b7＝lg＞lg1＝0，当n≥8时，bn≤b8＝lg＜lg1＝0，故n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T7＝＝＝7－lg2.5
