第七章第一节空间几何体的结构特及三视图和直观图一、选择题1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12D．102.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A．6B．8C．2＋3D．2＋23．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于( )A．6B．6πC．3πD．6π4.如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台5．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则下列图形：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．不可能是其俯视图的有( )A．①②B．②③C．③④D．①④6．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )-5-\n二、填空题7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为.其中正确的是________．(请写出所有正确结论的序号)8．一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由________个这样的小正方体组成．9．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．三、解答题10．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？11．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．-5-\n12．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．详解答案一、选择题1．解析：如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1、AD1，同理从B、C、D、E点出发的对角线也有两条，共2×5＝10条．答案：D2.解析：根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB＝2，OA＝1，∴AB＝3，所以周长为8.-5-\n答案：B3．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面半径分别是1、2，圆台的高是2，故其母线长为＝，其侧面积等于π(1＋2)＝3π.答案：C4.解析：根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)可知，几何体Ω不是棱台．答案：D5．解析：根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，该几何体的三视图不可能是圆和正方形．答案：B6．解析：由正视图和俯视图画出如图所示的直观图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，故其侧视图是一直角三角形，其一条直角边为PA，另一条直角边长为B到AC的距离.答案：B二、填空题7．解析：四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立，当E、F分别为AA1、CC1的中点时，②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，最小值为.答案：②③④⑤8．解析：依题意可知这个几何体最多可由9＋2＋2＝13个这样的小正方体组成．答案：139．解析：设正三棱柱的底面边长为a，利用体积为2，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为，故所求矩形的面积为2.答案：2三、解答题10．解：如图所示，正四棱锥S－ABCD中高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，在Rt△SOA中，-5-\nOA＝＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高．在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，∴SE＝，即侧面上的斜高为.11．解：如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱，设长方体的对角线A1C＝，则它的正视图投影长为A1B＝，侧视图投影长为A1D＝a，俯视图投影长为A1C1＝b，则a2＋b2＋()2＝2·()2，即a2＋b2＝8，又≤，当且仅当“a＝b＝2”时等式成立．∴a＋b≤4.即a＋b的最大值为4.12．解：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图，如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝a，AD是正棱锥的高，则AD＝a，所以该平面图形(侧视图)的面积为S＝×a×a＝a2.-5-
