第七章第六节空间向量及其运算一、选择题1．已知向量a＝(8，x，x)，b＝(x,1,2)，其中x＞0.若a∥b，则x的值为( )A．8B．4C．2D．02．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于( )A.B.C.D.3.如图，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于( )A．2·B．2·C．2·D．2·4.已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，则用向量，，表示向量正确的是( )A．＝＋＋B．＝＋＋C．＝＋＋D．＝＋＋5．有以下命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知{a，b，c}是空间的一个基底，则{a＋b，a－b，c}也是空间的一个基底．其中正确的命题是( )-6-\nA．①②B．①③C．②③D．①②③6.二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为( )A．2aB.aC．aD.a二、填空题7．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(－2,1,1)，a，b夹角的余弦值为，则λ＝________.8.已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________.9．给出命题：①若a与b共线，则a与b所在的直线平行；②若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa；③若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，＝＋＋，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC的内部．其中真命题是________．三、解答题10．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且a≠b，记|a－b|＝m，求a－b与x轴正方向的夹角的余弦值．11.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长．-6-\n12．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．详解答案一、选择题1．解析：a∥b且x＞0⇔存在λ＞0，使a＝λb⇔(8，x，x)＝(λx，λ，2λ)⇔⇔答案：B2．解析：由于a，b，c三个向量共面，所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，即有，解得m＝，n＝，λ＝.答案：D3.解析：2·＝2·a·a·cos60°＝a2.答案：B4.解析：＝＋＝＋＝＋(－＋＋-6-\n－)＝＋＋.答案：C5．解析：对于①，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确．答案：C6.解析：∵AC⊥l，BD⊥l，∴〈，〉＝60°，且·＝0，·＝0，∴＝＋＋，∴||＝＝＝2a.答案：A二、填空题7．解析：cos〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝1.答案：18.解析：如图，＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)答案：(b＋c－a)9．解析：①中a与b所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a＝0，b≠0时，找不到实数λ，使b＝λa，故②是假命题；可以证明③中A，B，C，M四点共面，因为＋＋＝，等式两边同时加上，则(＋)＋(＋)＋(＋)＝0，即＋＋＝0，＝－－，则与，共面，又M是三个有向线段的公共点，故A，B，C，M四点共面，所以M是△ABC的重心，所以点M在平面ABC上，且在△ABC的内部，故③是真命题．-6-\n答案：③三、解答题10．解：取x轴正方向的任一向量c＝(x,0,0)(x＞0)，设所求夹角为α，∵(a－b)·c＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)·(x,0,0)＝(a1－b1)x，∴cosα＝＝＝.故a－b与x轴正方向的夹角的余弦值为.11.解：(1)证明：设＝p，＝q，＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.∴MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.(2)由(1)可知＝(q＋r－p)，∴||2＝2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝[a2＋a2＋a2＋2(－－)]＝×2a2＝.∴||＝a.∴MN的长为a.12．解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.-6-\n∴·＝－c2＋b2＝0，∴⊥，即CE⊥A′D.(2)＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|.·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.-6-
