广西省2022届高三理科数学试题精选（6年高考(大纲版)+2年模拟）分类汇编7：立体几何（1）一、选择题．（广西南宁二中2022届高三3月模拟考试数学（理）试题）正四棱锥V—ABCD中,底面正方形的边长为2,侧棱长为,E为侧棱VA的中点,则EC与底面ABCD所成角的正切值为（ ）A．B．C．D．【答案】C．（2022全国2理）已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于（ ）A．1B．C．D．2【答案】C设两圆的圆心分别为、,球心为,公共弦为AB,其中点为E,则为矩形,于是对角线,而,∴．（2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-全国2）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值等于（ ）A．B．C．D．【答案】A．（2022全国1理科）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值等于（ ）A．B．C．D．【答案】B．（2022年高考（理））已知平面截一球面得圆,过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆,若该球的半径为4,圆的面积为,则圆的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】D．（广西百所高中2022届高三第三届联考试题数学理）如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为24\n（ ）A．B．C．D．【答案】A．（广西陆川县中学2022届高三第二学期第三次数学模拟试题（理））已知、是不同的直线,、是不同的平面,有下列命题:①若∥,则∥②若∥,∥,则∥③若∥,则∥且∥④若,则∥其中真命题的个数是（ ）A．个B．个C．个D．个【答案】B．（2022全国理2）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点（ ）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【答案】D．（2022年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国Ⅰ理））已知二面角α-l-β为,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．B．2C．D．4【答案】解:如图分别作24\n,连,又当且仅当,即重合时取最小值.故答案选C．．（广西南宁市2022届高三第二次适应性测试数学（理）试题）设E、F分别是正三桉锥A-BCD的倒梭AB．底边BC的中点,且.若BC=a.则正三棱锥A-BCD的体积为（ ）A．B．(C〕D．【答案】B．（2022全国2理）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标的面的方位是[△上东（ ）A．南B．北C．西D．【答案】B．（广西南宁市2022届高三第三次适应性测试数学（理）试题）已知的顶点都在半径为4的球O面上,且AB=3,BC=2,,则棱锥O-ABC的体积为（ ）A．B．C．D．【答案】A．（广西南宁市2022届高三第三次适应性测试数学（理）试题）在空间内,设是三条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中真命题的个数是(1),则;(2),则(3),则;(4),则或（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C．（2022年高考数学全国I理科）如图,正棱柱中,,则异面直线与24\n所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【答案】如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线与所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,选D．．（广西桂林市、崇左市、防城港市2022届高三第二次联合模拟考试数学理试题（WORD版））在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则与平面BDD1B1所成角的正弦值为（ ）A．B．C．D．【答案】A．（2022年高考（大纲理））已知正四棱柱中,为的中点,则直线与平面的距离为A.2B.C.D.1【答案】D二、填空题．（2022年高考（大纲理））三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为_____________.24\n〖解〗设该三棱柱的边长为1,依题意有,则
而
．（广西武鸣高中2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图,在二面角内半径为1的圆与半径为2的圆分别在半平面、内,且与棱切于同一点P,则以圆与圆为截面的球的表面积等于____★____.P【答案】．（广西梧州市蒙山县2022届高三高考模拟考试数学（理）试题）直三棱柱-各顶点都在同一球面上.若∠=,则此直三棱柱的表面积等于__________.【答案】．（2022年高考数学全国I理科）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为__________.【答案】一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形的斜边EF上的中线DG=,∴斜边EF的长为2.24\n．（广西南宁市2022届高三第三次适应性测试数学（理）试题）已知直二面角,点,,为垂足,点,,为垂足,点,,异面直线与所成的角等于_________.(用反余弦表示)【答案】．（广西陆川县中学2022年春季期高三第一次模拟数学试题（理科）2022年5月7日）在棱长为1的正方体中,在面内任作长为1的线段,那么四面体体积的最大值为__________________.【答案】解析:当时,三棱锥体积最大,.．（2022全国2理）设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于,则球O的表面积等于_________.【答案】8．（2022全国2理）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件①_______________________________________________;充要条件②_______________________________________________.(写出你认为正确的两个充要条件)【答案】【答案】两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边形.注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分.．（2022全国理2）已知球的半径为4,圆与圆为该球的两个小圆,为圆与圆的公共弦,.若,则两圆圆心的距离_________.【答案】3．（广西桂林市、崇左市、防城港市2022届高三第二次联合模拟考试数学理试题（WORD版）24\n）已知底面为正三角形,侧棱长都相等的三棱锥S—ABC各顶点都在半球面上,其中A、B、C三顶点在底面圆周上,若三棱锥S—ABC的体积为,则该半球的体积为______________.【答案】三、解答题．（2022年高考（大纲理））如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,是上的一点,.(1)证明:平面;(2)设二面角为,求与平面所成角的大小.解:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则设.
(Ⅰ)证明:由得,所以,,,所以,
.所以,,所以平面;
(Ⅱ)设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角为,所以,解得.
所以,平面的法向量为,所以与平面所成角的正弦值为,所以与平面所成角为.．（2022年高考数学全国I理科）四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,侧面底面ABCD,已知,,,.(Ⅰ)证明:;24\n(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小.【答案】解法一:(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,得底面.因为,所以,又,故为等腰直角三角形,,由三垂线定理,得.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,依题设,DBCAS故,由,,,得,.的面积.连结,得的面积设到平面的距离为,由于,得,解得.设与平面所成角为,则.所以,直线与平面所成的我为.解法二:(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,得平面.24\n因为,所以.又,为等腰直角三角形,.如图,以为坐标原点,为轴正向,建立直角坐标系,DBCAS,,,,,,,所以.(Ⅱ)取中点,,连结,取中点,连结,.,,.,,与平面内两条相交直线,垂直.所以平面,与的夹角记为,与平面所成的角记为,则与互余.,.,,所以,直线与平面所成的角为.．（广西南宁市2022届高三第二次适应性测试数学（理）试题）如图所示,四梭锥P-ABCD的底面ABCD为菱形且..E为PC的中点,且.直线DE与平面PAC所成角为45.(1)求证:平面ABCD;(2)求二面角E-PD-B的平曲角的大小.24\n【答案】24\n．（2022全国2理）如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,,D、E分别为AA1、B1C的中点,平面ACBA1B1C1DE(1)证明:AB=AC(2)设二面角A-BD-C为600,求与平面BCD所成角的大小【答案】解法一:(Ⅰ)取BC中点F,连接EF,则EF,从而EFDA.连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE.又DE⊥平面,故AF⊥平面,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC.(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG.由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知,∠AGC=..24\n设AC=2,则AG=.又AB=2,BC=,故AF=.由得2AD=,解得AD=.故AD=AF.又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形.因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF.连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD.连接CH,则∠ECH为与平面BCD所成的角.因ADEF为正方形,AD=,故EH=1,又EC==2,所以∠ECH=,即与平面BCD所成的角为.解法二:(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz.设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则(1,0,2c),E(,,c).于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC,=0,求得b=1,所以AB=AC.(Ⅱ)设平面BCD的法向量则又=(-1,1,0),=(-1,0,c),故令x=1,则y=1,z=,=(1,1,).又平面的法向量=(0,1,0)由二面角为60°知,=60°,24\n故°,求得于是,,°所以与平面所成的角为30°．（广西南宁市2022届高三第三次适应性测试数学（理）试题）如图:四棱锥A-BCQP中,二面角A-BC-P为,且,BP+AP=,AB=AC=.(Ⅰ)求证:AB平面ACQ;(Ⅱ)求直线AP与平面ACQ所成角的大小.【答案】24\n．（2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-全国2）如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧棱底面分别为的中点.(1)证明平面;(2)设,求二面角的大小.AEBCFSD【答案】解法一:(1)作交于点,则为的中点.AEBCFSDHGM24\n连结,又,故为平行四边形.,又平面平面.所以平面.(2)不妨设,则为等腰直角三角形.取中点,连结,则.又平面,所以,而,所以面.取中点,连结,则.连结,则.故为二面角的平面角.所以二面角的大小为.解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系.AAEBCFSDGMyzx设,则,.取的中点,则.24\n平面平面,所以平面.(2)不妨设,则.中点又,,所以向量和的夹角等于二面角的平面角..所以二面角的大小为.．（2022年高考（全国理1））(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC.(Ⅰ)证明:SE=2EB;(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小.【答案】解法一：(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,由此知即为直角三角形，故.又,所以，.作，故与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直24\nDE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SB所以，SE=2EB(Ⅱ)由知.故为等腰三角形.取中点F,连接,则.连接，则.所以，是二面角的平面角.连接AG,AG=,,,所以，二面角的大小为120°.解法二：以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（Ⅰ）设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)由，得故2b-2c=0,-a+b=0令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)24\n又设，则设平面CDE的法向量m=(x,y,z)由,得，故.令，则.由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n,故SE=2EB（Ⅱ）由（Ⅰ）知，取DE的中点F，则，故，由此得又，故，由此得，向量与的夹角等于二面角的平面角于是所以，二面角的大小为．（2022全国理2）如图,直三棱柱中,,,为的中点,为上的一点,.(Ⅰ)证明:为异面直线与的公垂线;(Ⅱ)设异面直线与的夹角为45°,求二面角的大小.24\n【答案】24\n24\n．（广西南宁市2022届高三第二次诊断测试数学（理）试题）(注意:在试题卷上作答无效)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60o,PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为PC,BC的中点.(1)证明:AN⊥平面PAD;(2)求二面角C-AM-N的大小.【答案】24\n．（2022年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国Ⅰ理））(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,点M在侧棱上,=60°(I)证明:M在侧棱的中点(II)求二面角的大小.【答案】(I)解法一:作∥交于N,作交于E,连ME、NB,则面,,24\n设,则,在中,.在中由解得,从而M为侧棱的中点M.解法二:过作的平行线.解法三:利用向量处理.(II)分析一:利用三垂线定理求解.在新教材中弱化了三垂线定理.这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角.过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.分析二:利用二面角的定义.在等边三角形中过点作交于点,则点为AM的中点,取SA的中点G,连GF,易证,则即为所求二面角.分析三:利用空间向量求.在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可.另外:利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等,这些方法也能奏效.总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况.命题人在这里一定会照顾双方的利益.．（广西百所高中2022届高三第三届联考试题数学理）如图,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,SA=AB,M是SD的中点.(1)求证:SB//平面ACM;(2)求二面角D—AC—M的大小.24\n【答案】24
