对数运算法则必备知识基础练1.已知a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,下列各式:①(logax)n=nlogax;②logax=-loga;③=loga;④logax;⑤logax=loga;⑥logax=loxn;⑦loga=-loga.其中成立的有( ) A.3个B.4个C.5个D.6个答案B解析其中②⑤⑥⑦正确.①式中nlogax=logaxn;③式中loga=logax-logay;④式中logax=loga.2.等于( )A.lg3B.-lg3C.D.-答案C解析原式=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=.3.(多选题)(2020山东临沂高三期末)若10a=4,10b=25,则下列结论正确的是( )A.a+b=2B.b-a=1C.ab>8lg22D.b-a>lg6答案ACD解析由10a=4,10b=25,得a=lg4,b=lg25,∴a+b=lg4+lg25=lg100=2,∴b-a=lg25-lg4=lg.∵lg>lg6,∴b-a>lg6.∴ab=4lg2lg5>4lg2lg4=8lg22.4.计算:2+lg4+2lg5-eln3= . 答案24
解析原式=(33+(lg4+lg25)-eln3=3+2-3=2.5.若a=log43,则2a+2-a= ,+1= . 答案 log312解析∵a=log43=log2,∴2a+2-a=.∵=log34,1=log33,∴+1=log34+log33=log312.6.计算:(1);(2)log28+lg+ln+(lg5)2+lg2lg50.解(1)原式==1.(2)原式=3-3++2÷+(lg5)2+lg2(lg5+1)=+lg5(lg5+lg2)+lg2=.关键能力提升练7.若2loga(P-2Q)=logaP+logaQ(a>0且a≠1),则的值为( )A.B.4C.1D.4或1答案B解析由2loga(P-2Q)=logaP+logaQ,得loga(P-2Q)2=loga(PQ).由对数运算法则得(P-2Q)2=PQ,即P2-5PQ+4Q2=0,所以P=Q(舍去)或P=4Q,解得=4.8.(2021河南高二期末)已知log47=a,4b=6,则log4228=( )A.B.C.D.答案D解析由4b=6,得log46=b,因为log47=a,所以log4228=.4
故选D.9.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则下列结论正确的是( )A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.D.答案AD解析由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k,对于选项A,由ab+bc=2ac,可得=2,因为=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;对于选项C,=2logk4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,故,即C错误;对于选项D,=2logk6-logk4=logk9,=logk9,故,即D正确.10.2x=5y=m(m>0),且=2,则m的值为 . 答案解析由2x=5y=m(m>0),得x=log2m,y=log5m,由=2,得=2,即logm2+logm5=2,logm(2×5)=2.故有m=.11.方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解为 . 答案x=2解析∵log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2,∴log2(9x-1-5)=log2[4×(3x-1-2)],∴9x-1-5=4(3x-1-2),化为(3x)2-12·3x+27=0,因式分解为(3x-3)(3x-9)=0,∴3x=3或3x=9,解得x=1或x=2.经过验证x=1不满足条件,舍去.∴x=2.12.甲、乙两人解关于x的方程log2x+b+clogx2=0,甲写错了常数b,得到两个根;乙写错了常数c得到两个根,64.求这个方程真正的根.解原方程可化为log2x+b+c·=0,即(log2x)2+blog2x+c=0.因为甲写错了常数b得到两个根,所以c=log2×log2=6.4
因为乙写错了常数c得到两个根,64,所以b=-=-5.故原方程为(log2x)2-5log2x+6=0.解得log2x=2或log2x=3.所以x=4或x=8,即方程真正的根为4,8.学科素养创新练13.已知2y·logy4-2y-1=0,·log5x=-1,是否存在一个正整数P,使P=?解存在.理由如下,∵2y·logy4-2y-1=0,∴2y=0.又2y>0,∴logy4=.∴y=16.由·log5x=-1得=-logx5>0,∴logx=(logx5)2.∴logx5x=(logx5)2.∴2(logx5)2-logx5-1=0,即(2logx5+1)(logx5-1)=0,∴logx5=-或logx5=1.∵-logx5>0,∴logx5<0.∴logx5=1(舍去).∴logx5=-,即=5.∴x=.∴=25.∴P==3.即存在正整数P=3,使P=.4
