统计与概率的应用必备知识基础练1.一批产品的合格率为90%,检验员抽检时出错率为10%,则检验员抽取一件产品,检验为合格品的概率为( ) A.0.81B.0.82C.0.90D.0.91答案B解析∵一批产品的合格率为90%,检验员抽检时出错率为10%,∴检验员抽取一件产品,检验为合格品的概率是0.9×0.9+0.1×0.1=0.82.故选B.2.某高一学生为了获得某名校的荣誉毕业证书,在“体音美2+1+1项目”中学习游泳.他每次游泳测试达标的概率都为60%,现采用随机模拟的方法估计该同学三次测试恰有两次达标的概率:先由计算器产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4表示未达标,5,6,7,8,9,0表示达标;再以每三个随机数为一组,代表三次测试的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:917 966 891 925 271 932 872 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 507 989据此估计,该同学三次测试恰有两次达标的概率为( )A.0.50B.0.40C.0.43D.0.48答案A解析因为这20个数据中符合条件的有917,891,925,872,458,683,257,027,488,730,共10个,所以所求事件的概率为=0.5,故选A.3.如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K,A1,A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为( )A.0.960B.0.8647
C.0.720D.0.576答案B解析A1,A2同时不能正常工作的概率为0.2×0.2=0.04,所以A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-0.04=0.96,所以系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864.故选B.4.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良.某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市,并停留2天(包括到达当天).此人停留期间只有1天空气质量优良的概率为( )A.B.C.D.答案D解析3月1日至3月14日中,若停留2天有(1,2),(2,3),…,(13,14)共有13种,停留期间只有1天空气质量优良的有(3,4),(6,7),(7,8),(11,12)共4种.所以对应概率为P=.5.某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则淋雨的概率是 . 答案解析由题意知,下雨的概率为,不下雨的概率为,准时收到帐篷的概率为,不能准时收到帐篷的概率为.当下雨且不能准时收到帐篷时会淋雨,所以淋雨的概率为.6.为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记X表示学生的考核成绩,并规定X≥85为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图.(1)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率;7
(2)从图中考核成绩满足X∈[80,89]的学生中任取2人,求至少有一人考核优秀的概率;(3)记P(a≤X≤b)表示学生的考核成绩在区间[a,b]的概率,根据以往培训数据,规定当P≥0.5时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.解(1)由茎叶图中的数据可以知道,30名学生中,有7名学生考核优秀,所以估计这名学生考核优秀的概率为.(2)设从图中考核成绩满足X∈[80,89]的学生中任取2人,至少有一人考核成绩优秀为事件A,因为图中成绩在[80,89]的6人中有2个人考核优秀,所以样本空间Ω包含15个样本点,事件B包含9个样本点,所以P(A)=.(3)根据图中的数据知,满足≤1的成绩有16个,所以P>0.5,所以可以认为此次冰雪培训活动有效.关键能力提升练7.(多选题)有三个游戏,规则如下,袋子中分别装有形状、大小相同的球,从袋中无放回地取球.游戏1游戏2游戏3袋中装有3个黑球和2个白球袋中装有2个黑球和2个白球袋中装有3个黑球和1个白球从袋中取出2个球从袋中取出2个球从袋中取出2个球若取出的两个球同色,则甲胜若取出的两个球同色,则甲胜若取出的两个球同色,则甲胜若取出的两个球不同色,则乙胜若取出的两个球不同色,则乙胜若取出的两个球不同色,则乙胜其中不公平的游戏是( )A.游戏1B.游戏2C.游戏3D.都不公平答案AB7
解析对于游戏1,取出两球同色的概率为,取出两球不同色的概率为,不公平;对于游戏2,取出两球同色的概率为,取出两球不同色的概率为,不公平;对于游戏3,取出两球同色即全是黑球,概率为,取出两球不同色的概率为,公平.8.春节期间“支付宝”开展了集福活动,假定每次扫福都能得到一张福卡(福卡一共有五种:爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),且得到每一种类型福卡的概率相同,若小张已经得到了富强福、和谐福、友善福,则小张再扫两次可以集齐五福的概率为 ,小张再扫三次才可以集齐五福的概率为 . 答案解析(1)由题意可得小张扫第一次得到爱国福或敬业福,概率为P1=,扫第二次得到另外一张福卡的概率P2=,则小张再扫两次可以集齐五福的概率为P=P1P2=.(2)由题意可得小张扫三次,前两次只得爱国福与敬业福中的一个的概率为P3=,第三次得另一张卡片的概率为P2=,则小张再扫三次才可以集齐五福的概率为P=P3P4=.9.交强险是车主为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:交强险浮动因素和费率浮动比率表浮动因素浮动比率A上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%B上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%C上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%D上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%E上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%7
F上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:类型ABCDEF数量1013720146(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率;(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损6000元,一辆非事故车盈利10000元,且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致,完成下列各题:①若该销售商店内有7辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在店内随机挑选2辆,求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率;②若该销售商一次性购进70辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示).解(1)一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为.(2)①由统计数据可知,该销售商店内的7辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车,设为b1,b2,5辆非事故车,设为a1,a2,a3,a4,a5.从7辆车中随机挑选2辆车的样本空间Ω={(b1,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,a3),(b1,a4),(b1,a5),(b2,a1),(b2,a2),(b2,a3),(b2,a4),(b2,a5),(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5)},共21个样本点.记A为“其中2辆车恰好有一辆为事故车”,则A={(b1,a1),(b1,a2),(b1,a3),(b1,a4),(b1,a5),(b2,a1),(b2,a2),(b2,a3),(b2,a4),(b2,a5)},共10个样本点,所以该顾客在店内随机挑选2辆车,这2辆车恰好有一辆事故车的概率为.7
②由统计数据可知,该销售商一次购进70辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车20辆,非事故车50辆,所以一辆车盈利的平均值为×[(-6000)×20+10000×50]=(元).学科素养创新练10.某大学就业部从该大学2020年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查,其中有一项是他们的月薪情况,经调查统计发现,他们的月薪在3000元到10000元之间,根据统计数据得到如下所示的频率分布直方图:若月薪落在区间(-2s,+2s)的左侧,则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生,学校将联系本人,咨询月薪过低的原因,从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见.其中,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得s≈1500元(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).(1)现该校2020年大学本科毕业生张茗的月薪为3600元,试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生;(2)为感谢同学们对这项调查工作的支持,该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽取6人,各赠送一份礼品,并从这6人中再抽取2人,各赠送某款智能手机1部,求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率;(3)位于某省的一高校2020年某专业本科毕业生共200人,现他们决定于2021年元旦期间举办一次同学联谊会,并收取一定的活动费用.假定这200人与某大学就业部所抽取的样本的月薪分布情况相同,并用样本频率估计总体频率,现有两种收费方案:方案一:按每人一个月薪水的10%收取;方案二:月薪高于样本平均数的每人收取800元,月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元,月薪低于4000元的不收取任何费用.问:哪一种收费方案最终总费用较少?7
解(1)=3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650,-2s=6650-3000=3650>3600,所以张茗属于“就业不理想”的学生.(2)第一组有1000×0.00005×100=5(人),第二组有1000×0.00010×100=10(人),第三组有1000×0.00015×100=15(人),所以按照分层抽样抽6人时,第一组抽1人,记为A;第二组抽2人,记为B,C;第三组抽3人,记为D,E,F.从这6人中抽2人共有15种情况:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F).其中恰有一人月薪不超过5000元的有9种情况:(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F).根据古典概型的概率公式可得P=.(3)方案一:月薪在3000~4000元的共收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500(元);月薪在4000~5000元的共收取1000×0.00010×200×4500×0.1=9000(元);月薪在5000~6000元的共收取1000×0.00015×200×5500×0.1=16500(元);月薪在6000~7000元的共收取1000×0.00030×200×6500×0.1=39000(元);月薪在7000~8000元的共收取1000×0.00020×200×7500×0.1=30000(元);月薪在8000~9000元的共收取1000×0.00015×200×8500×0.1=25500(元);月薪在9000~10000元的共收取1000×0.00005×200×9500×0.1=9500(元).故按方案一收费的最终总费用为133000元.方案二:月薪高于6650元的共收取800×200×[(7000-6650)×0.00030+1000×(0.00020+0.00015+0.00005)]=80800(元);月薪不低于4000元但低于6650元的共收取400×200×[(6650-6000)×0.00030+1000×(0.00010+0.00015)]=35600(元).故按方案二收费的最终总费用为116400元.因为116400<133000,所以方案二的最终总费用较少.7
