高考数学预测试题1－6题，容易题；7－12题，中等题；较08年略难一点．13－14题，较难题．一、填空题：1．已知复数，若|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是．答案：（－1，1）2．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为．答案：3．一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、左视图、俯视图的面积分别是1，2，4，则这个几何体的体积为．答案：4．已知函数，若，则的值为．答案：25．将圆绕直线旋转一周，所得几何体的体积为．答案：6．某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x（°C）181310－1用电量y（度）24343864由表中数据得线性回归方程中，预测当气温为时，用电量的度数约为．答案：6816/16\n如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．答案：51．经过抛物线上一点A（－2，2）的直线与抛物线的另一交点为B，若抛物线在A，B两处的切线互相垂直，则直线AB的斜率为．结束开始I←1y←5z←2y－x输出zNY（第8题）x←2x←yy←zI←I＋1I＞100答案：－2．抛掷一颗骰子的点数为a，得到函数，则“在[0，4]上至少有5个零点”的概率是．答案：3．按右图所示的流程图运算，则输出的z＝．答案：3054．等边△ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数的值是．答案：25．在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积是4，则的最小值为．答案：6．从一个半径为1的圆形铁片中剪去圆心角为x弧度的一个扇形，将余下的部分卷成一个圆锥（不考虑连接用料），当圆锥的容积达到最大时，x的值是．答案：7．若≥对一切x＞0恒成立，则a的取值范围是．答案：a≤2二、解答题：第一题：立几，容易题，预期得分率0.75．立体几何考什么？怎样出题？1。平行（线线，线面，面面），重点仍是线面平面——两种方法（线线法，面面法）2。垂直：条件与结论中都有垂直。重点是线线垂直与线面垂直（或面面垂直）的转化。3。面积与体积。16/16\n4。题目的形成：长（正）方体一角，三棱柱一角。要注意寻找三度（相当于长宽高）的垂直。中点问题常与中位线、中线、重心相关。求体积可结合变换法（如放缩法）更易。ECBDAFNM15－1．如图，在三棱锥D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC．（1）求三棱锥D－ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．15－1解（证明）（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．∴，，．三棱锥D－ABC的表面积为．（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．ECBDAFNMGHO（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝．16/16\nEDCB1C1A1AB15－2．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2，D、E分别为CC1、A1B1的中点．（1）求证C1E∥平面A1BD；（2）求证AB1⊥平面A1BD；（3）求三棱锥A1－C1DE的体积．EDCB1C1A1ABFH15－2证明（解）（1）设AB1与A1B相交于F，连EF，DF．则EF为△AA1B1的中位线，∴EFA1A．∵C1DA1A，∴EFC1D，则四边形EFDC1为平行四边形，∴DF∥C1E．∵C1E平面A1BD，DF平面A1BD，∴C1E∥平面A1BD．（2）取BC的中点H，连结AH，B1H，由正三棱柱ABC－A1B1C1，知AH⊥BC，∵B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AH．∵B1B∩BC＝B，∴AH⊥平面B1BCC1．∴AH⊥BD．在正方形B1BCC1中，∵tan∠BB1H＝tan∠CBD＝，∴∠BB1H＝∠CBD．则B1H⊥BD．∵AH⊥∩B1H＝H，∴BD⊥平面AHB1．∴BD⊥AB1．在正方形A1ABB1中，∵A1B⊥AB1．而A1B∩BD＝B，∴AB1⊥平面A1BD．（3）∵E为AB的中点，∴．第二题：三角与向量，容易题，预期得分率0.70左右．三角考什么？怎样出题？1。三角形问题：正弦定理，余弦定理。面积。2。两角和与差的三角函数。16/16\n3。题目的形成：以平面向量为载体（向量平行，垂直，数量积）16－1．在△中，已知·=9，sin=cossin，面积S＝6．（1）求△的三边的长；（2）设是△（含边界）内一点，到三边，，的距离分别为x，y和z，求x＋y＋z的取值范围．16－1解：设．（1），，，，，由，用余弦定理得（2）设，由线性规划得．∴．16－2．已知（1）当时，求函数的最小正周期；（2）当∥时，求的值.16－2解：（1），∴．又，∴该函数的最小正周期是．（2）∵∴是锐角16/16\n∥，即是锐角，即cos2α＝．第三题：解析几何，中等题，预期得分率0.48左右．解析几何考什么？怎样出题？1。以椭圆（或双曲线、抛物线）为入口，求标准方程。2。几何性质17－1．已知双曲线左右两焦点为，P是右支上一点，于H，.(1)当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率的取值范围；（3）当取最大值时，过的圆的截y轴的线段长为8，求该圆的方程.17－1解：由相似三角形知，，，∴，．（1）当时，，∴.（2）16/16\n=，在上单调递增函数.∴时，最大3，时，最小，∴，∴.（3）当时，，∴，∴.∵，∴是圆的直径，圆心是的中点，∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴=8.又，∴.∴，圆心，半径为4，.17－2．如图，已知椭圆：的长轴长为4，离心率，为坐标原点，过的直线与轴垂直．是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点．（1）求椭圆的方程；（2）证明点在以为直径的圆上；（3）试判断直线与圆的位置关系．17－2解：（1）由题设可得，解得，∴．∴椭圆的方程为．（2）设，则．∵，∴．∴．∴点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上．16/16\n（3）设，则，且．又，∴直线的方程为．令，得．又，为的中点，∴．∴，．∴．∴．∴直线与圆相切．第四题：应用题，中等题，预期得分率0.58左右．18－1．建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小．（1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？（2）如防洪堤的高限制在的范围内，外周长最小为多少米？18－1．解：（1），AD＝BC+2×hcot=BC+，，解得．设外周长为，则；当，即时等号成立．外周长的最小值为米，此时堤高为米．16/16\n（2）设，则，是的增函数，∴(米)．（当时取得最小值）．18－2．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（1）估计这次测试数学成绩的平均分；（2）假设在［90，100］段的学生的数学成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这两个数恰好是在［90，100］段的两个学生的数学成绩的概率．解：（1）利用组中值估算抽样学生的平均分：．＝＝72．所以，估计这次考试的平均分是72分．（2）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果有：（95，96），（95，97），（95，98），（95，99），（95，100）（96，97），（96，98），（96，99），（96，100）（97，98），（97，99），（97，100），（98，99），（98，100），（99，100）共15种结果．如果这两个数恰好是两个学生的成绩，则这两个学生的成绩在［90，100］段，而［90，100］段的人数是0.0051080＝4（人）．不妨设这4个人的成绩是95，96，97，98，则事件A＝“2个数恰好是两个学生的成绩”，包括的基本结果有：（95，96），（95，97），（95，98），（96，97），（96，98），（97，98）共6种基本结果．∴P(A)＝．第五题：函数，较难题，预期得分率0.35左右．19－1．已知函数f(x)＝．(1)讨论f(x)的奇偶性和单调性，并求出f(x)的值域；(2)求出y＝f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线方程；当x∈(―，＋∞)时，证明函数图象在点(，)处切线的下方，利用这一结论证明下列不等式：16/16\n已知a，b，c∈(―，＋∞)，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≤．(3)已知a1，a2，…，an是正数，且a1＋a2＋…＋an＝1，猜想的最大值．(不要求证明)19－1解：(1)f(x)＝的定义域是(―∞，＋∞)，因为f(―x)＝―f(x)，所以f(x)是奇函数．因为f'(x)＝，所以f(x)在(―∞，―1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．又当x≥0时，f(x)≥0，且f(1)＝，∴x∈[0，＋∞)时，f(x)的取值范围是[0，]．所以，f(x)的值域为[－，]．(2)y＝f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线方程为y―＝(x－x0)．当x0＝时，函数图象在点(，)处的切线方程是y－＝(x－)，即y＝．要当－＜x＜＋∞时，证明函数图象在点(，)处切线的下方，只需证明≤，成立．这等价于证明(3x－1)2(4x＋3)≥0，这是显然的．由此知≤，≤，≤．将三个不等式相加得＋＋≤．(3)猜想的最大值是．19－2．已知函数，(a>0，a≠1)（1）a＞1，解关于x的方程f(x)=m（其中）；（2）记函数g(x)=f(－x)，x∈，若g(x)的最值与a无关，求a的范围.解：(1)①当x≥0时，，方程即，即，∴.∵a＞1，x≥0，∴≥1．令＝t，则当t∈[1，]时，是单调递减函数，当t∈[，＋∞)时，是单调递增函数．16/16\n当t＝时，取得最小值为2．当t＝1或2时，＝3．a)时，，b)时，；改为：令，，∵a)当即时，方程有一根，；b)当即时，∵对称轴，∴方程有两根．②当x<0时，，方程即，即，a)时，无解，b)时，；综上：时，；时，或．(2)①当时，a)时，，，∴b)时，，∴ⅰ当即时，对，，∴在上递增，∴，综合a)b)有最小值为与a有关，不符合ⅱ当即时，由得，且当时，，当时，，∴在上递减，在16/16\n上递增，所以，综合a)b)有最小值为与a无关，符合要求．②当时，a)时，，，∴b)时，，，∴，在上递减，∴，综合a)b)有最大值为与a有关，不符合综上实数a的取值范围是．第六题：数列，难题，预期得分率0.15左右．20－1．对任意正整数n，设an是方程x3＋＝1的实数根，求证：（1）＜a1＜1；（2）an＋1＞an；（3）＜an．(2022年中国东南地区数学奥林匹克试题)(陈永高供题)证明由a＋＝1，得0＜an＜1．(1)0＝a＋1＋－(a＋)＜a＋1＋－(a＋)＝(an＋1－an)(a＋1＋an＋1an＋a＋)．因为a＋1＋an＋1an＋a＋＞0，所以an＋1－an＞0，即an＋1＞an．(2)因为an(a＋)＝1，所以an＝＞＝，从而＜，＜＝(－)＝1－＝＜an．故＜an．20－2．已知正项数列{an}的首项为1，且对任意n∈N*，都有＋＋…＋＝．数列{an}的前10项和为55．（1）求数列{an}的通项公式，并加以证明；16/16\n（2）设数列{an}满足xn＝(1＋)(1＋)…(1＋)(1＋)，证明：＜xn－＜．解(1)因为＋＋…＋＝，所以，＋＋…＋＋＝，－得，＝－，因为数列的各项均不为0，所以a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，将n换成n－1，得a1＝nan－(n－1)an＋1，由，得，(n＋1)an＋1－nan＋2＝nan－(n－1)an＋1，即2an＋1＝an＋an＋2．所以，数列{an}成等差数列．因为a1＝1，S10＝10a1＋45d＝55，所以d＝1，即数列{an}的通项公式为an＝n．(2)由(1)得xn＝(1＋)(1＋)…(1＋)(1＋)＝．利用不等关系(x＋1)(x－1)＜x2得(2n＋1)(2n＋3)＜(2n＋2)2，(2n＋3)(2n＋5)＜(2n＋4)2，…，(4n－3)(4n－1)＜(4n－2)2，(4n－1)(4n＋1)＜(4n)2，将这些不等式相乘得(2n＋1)(2n＋3)2…(4n－1)2(4n＋1)＜(2n＋2)2(2n＋4)2…(4n－2)2(4n)2，于是x＜＝＝＝2＋．①又利用不等关系(x＋1)(x－1)＜x2得(2n)(2n＋2)＜(2n＋1)2，(2n＋2)(2n＋4)＜(2n＋3)2，…，(4n－4)(4n－2)＜(4n－3)2，(4n－2)(4n)＜(4n－1)2，将这些不等式相乘得(2n)(2n＋2)2…(4n－2)2(4n)＜(2n＋1)2(2n＋3)2…(4n－3)2(4n－1)2，于是x＞＝＞＝2＋．②由②得x－2＞0，所以，xn－＝＜x－2＜．由①得x＜2＋2＝4，所以xn＜2，于是xn－＝＞＞＞．综上，＜xn－＜．1．数列产生的几种方式：通项公式型，递推关系型，（含n的）方程根型（即隐含型）．2．解决数列问题的常用方法：关注递推关系问题，善于利用换元法构造新数列，化归成等差或等比数列，求通项公式、求和等，结合代数推理证有关等式（或简单的数论结论）与不等式．关注不动点问题，注意对式的各种变形，产生各种形态的新式子，利用不等关系进行适当放缩证明有关不等式．3．不动点的思想：不动点何意？何时不动点法？递推（迭代）：——收敛：与y＝x有交点，即有解．16/16\n（用不动点求数列的通项公式）20－3．在数列{an}中，a1＝1，，求an．设不动点为x，则．解得x＝．分析一：用不动点改写原式，分析二：用换元法，令，去掉根式，便于化简变形．解：构建新数列，使，则，，即．∴．化简得，∴，即．数列是以2为首项，为公比的等比数列．，即．∴．（利用式的各种变形证题）20－4．已知数列，，，（n∈N*）．记，．求证：当时，（1）；（2）；（3）．（2022年高考浙江卷压轴题）20－5．实数列满足．问：（1）如果，求；（2）求的取值构成的集合解：（1）由题意有，设，则有，从而可得．而，因此，从而．16/16\n（2）由（1）得：，于是，，即.另一方面，对于任意实数，存在初始值，使得．所以的取值集合为．20－6．已知数列满足，前n项的和Sn＝．（1）求数列的通项公式；（2）又数列为等比数列，且，求数列{bn}的前n项的和Sn；（3）对于（2）中的Sn证明：．解：（1）（2）条件即所以数列{bn}是公比为2的等比数列，从而（3）．20－7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝．(1)试证明数列{an＋1－an}是等差数列，并求{an}的通项公式；(2)试证明＜；(3)试证明()＜．证明(1)因为a1＝1，an＋1－an＝，所以a2－a1＝，解得a2＝4．由an＋1－an＝知数列{an}是递增的，且(an＋1－an)2＝2(an＋1＋an)－1，将n换成n＋1得(an＋2－an＋1)2＝2(an＋2＋an+1)－1，16/16\n两式相减，得(an＋2－2an＋1＋an)(an＋2－an)＝2(an＋2－an)，因为数列{an}是递增的，所以an＋2－an≠0，于是，an＋2－2an＋1＋an＝2．即(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，所以{an＋1－an}是等差数列．an＋1－an＝a2－a1＋2(n－1)＝2n＋1．an＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋1＝n2．(2)当n＝1，2时，不等式显然成立．当n≥3时，＝＝1＋＜1＋＋＝1＋＋(－)＝1＋＋(－)＝－＜．(3)()＝．当n＝1，2时，直接验证知不等式显然成立．当k≥3时＜＝[－]，k＝3，4，…，n．相加得＜[－]＜．所以＜1＋＋＝1＋＜1＋＝．一、填空题1．（－1，1）2．3．4．25．6．687．58．－9．10．30511．212．13．14．[3，＋∞）本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！16/16
