考点24简单的线性规划【考纲要求】1．掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)．2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合．【命题规律】简单的线性规划是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查，有时会出现解答题中于其他知识结合考查.【典型高考试题变式】（一）求目标函数的最值例1.【2022课标1，文7】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．【变式1】【改变结论】设x，y满足约束条件则z=x+y的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z13\n取得最小值，故，故选B．【变式2】【改变条件】变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是( )A．B．4C．2D．6【答案】B（二）非线性目标函数的最值例2.【2022高考山东文数】若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（）A.4B.9C.10D.12【解析】画出可行域如图所示，点到原点距离最大，所以，选C.13\n【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.【变式1】【改变结论】已知函数，满足，则的最小值为.【答案】【变式2】【改变条件】变量x、y满足则z＝x2＋y2的取值范围为．【答案】【解析】由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示．由解得.由解得C(1,1)．由解得B(5,2)．z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.所以2≤z≤29.（四）线性规划的实际运用例3.【2022高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg13\n,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么①目标函数.二元一次不等式组①等价于②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线,当直线经过点时,取得最大值.解方程组,得的坐标.所以当,时,.故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.13\n【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.【变式1】小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买文具的钱不少于买科普书的钱．那么最多可以买的科普书与文具的总数是.【答案】37【变式2】某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示：甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)13\n煤(t)94360电(kw·h)45200劳力(个)310300利润(万元)612问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？【解析】设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元.依题意可得约束条件利润目标函数z＝6x＋12y.如图，作出可行域，作直线l：6x＋12y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝6x＋12y取最大值.解方程组得M(20，24).所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润.【数学思想】①数形结合思想:借助可行域图象，求目标函数的最值．②分类讨论思想:画函数图象时，要对参数进行讨论．③转化与化归思想.【温馨提示】①画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)；②线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．③求z＝ax＋by(ab≠0)的最值方法将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．(1)当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；13\n(2)当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．【典例试题演练】1.【2022河北省衡水中学高三摸底联考】若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在直角坐标系中作出区域A，当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域为下图中的四边形，所以其面积为，故选D.2.【2022届浙江省名校协作体考试】若变量，满足约束条件，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】作出可行域如图阴影部分：由得平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时最大值，故选A.13\n3.【2022届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考】设实数满足不等式组，则的最大值为（）A.B.C.12D.0【答案】C4.设动点P(x，y)在区域Ω：上，过点P任作直线l，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为( )A．πB．2πC．3πD．4π【答案】D【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值，故选D.13\n5.【2022浙江省杭州市名校协作体月考】变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（）A.B.C.1D.2【答案】C【解析】试题分析：作出题设约束条件表示的可行域如图内部（含边界），联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得m=1．故选C．6.【2022浙江省ZDB联盟一模】已知满足条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A.1或-2B.1或C.-1或-2D.-2或13\n【答案】A7.【2022湖北武汉市蔡甸区汉阳一中模拟】已知，给出下列四个命题：其中真命题的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中,所以直线过点A时取最小值；过点A时取最大值；斜率最大值为，到原点距离的平方的最小值为，因此选D.8.【湖南永州市2022届高三第一次模拟，15】若，满足约束条件，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B13\n9.【江西省六校2022届高三上学期第五次联考】如果实数满足条件，那么的最大值为（）A.1B.2C.D.【答案】B【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.10.【黑龙江省大庆实验中学2022届高三考前】已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_________.【答案】13\n11.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2022届高三8月联考，13】若满足约束条件，那么的最大值是__________.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示．因为表示平面区域上的点到原点连线的斜率，由图知当点位于点时，斜率最大，所以的最大值为2．12.【山东省实验中学2022届高三第一次诊，14】已知不等式组则的最大值为．【答案】3【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中表示两点PM连线斜率，其中其最大值为13.【江西南昌市2022届摸底考试，15】已知满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是.【答案】【解析】由题意得可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线13\n过C点时取最大值，过B点时取最小值，因此.14.给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．【答案】6【解析】解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0∈Z，说明x0，y0是整数，作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．15.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】（1）依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.（2）约束条件为整理得13
