考点一：集合【考纲要求】（1）集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．（3）集合的基本运算．①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．【命题规律】集合在高考中主要考查三方面内容:一是考查集合的概念、集合间的关系;二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查函数、不等式、解析几何等知识;三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力.预计2022年的高考将会继续保持稳定，坚持考查集合运算，命题形式会更加灵活、新颖．【典型高考试题变式】（一）判断集合间的关系例1.【2022高考重庆】已知集合A=,B=，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【变式1】【例题中的集合、改变，选项不变】已知集合，-9-\n，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为,而,故选D.【变式2】【例题的条件不变，结论变为，题型变为填空题】已知集合A=，B=，若，则实数的取值集合为_______.【答案】【解析】因为B=，又A=，，所以实数的取值集合为.（二）集合运算问题1.【2022新课标】已知集合，，则（）A.B．C．D．【答案】A【解析】由可得，则，即，所以，，故选A.【方法技巧归纳】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.【变式1】【例题中集合中的指数不等式改为对数不等式】已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B-9-\n【解析】由得，所以，所以，故选B.【变式2】【例题的条件不变，结论变为求，题型改为填空题】已知集合，，则_______.【答案】【解析】由可得，则，即，所以，因为，所以.（三）集合元素的个数问题例3.【2022新课标】已知集合，则集合中的元素个数为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【解析】由条件知，当时，；当时，，故,故选D.【方法技巧归纳】集合中元素具有：互异性、确定性、无序性.有限集合的子集个数是；真子集个数是；非空子集个数是；非空真子集个数是．【变式1】【改变例题中的集合，结论不变】已知集合，则集合中的元素个数为_______.【答案】2【解析】由条件知，当时，；当时，；当时，，故,故集合中的元素个数为2.【变式2】【改例题中的条件和结论】已知集合，，则集合中元素的个数为_______.【答案】5【解析】则集合中元素的个数为5个.-9-\n（四）集合中的创新题例4.【2022·湖北】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为( )A．77B．49C．45D．30【答案】C【解析】如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.【方法技巧归纳】解决集合创新型问题的方法：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．②用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．【变式1】对于任意两个正整数m，n，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{(a，b)|a⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有________个．【答案】15【解析】m，n同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m，n一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合M的元素共有15个．【变式2】如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A#B为( )A．{x|0<x<2}B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x>2}-9-\n【答案】D【解析】因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1<x≤2}，所以A#B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x>2}，故选D.【数学思想】1.数形结合思想数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．2.转化与化归思想在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅，在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程．【处理集合问题注意点】1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2.要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3.易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．【典例试题演练】1.【2022云南、四川、贵州百校大联考】设集合，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，.故选C.-9-\n2.【2022湖北省黄石市调研】已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故选D.3.【2022江西南昌市模拟】集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，所以，，故选B.4.【2022江西九江地区联考】已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，,所以，故选C.5.【2022广东海珠区测试】已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．-9-\n【答案】B6.【2022河北省衡水中学第三次调】已知集合，集合中至少有3个元素，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为集合中至少有3个元素，所以，所以，故选C．7.【湖北2022届百所重点校高三联考】已知集合，若，则等于（）A．2B．3C．2或3D．2或4【答案】C【解析】因为且，故,故选C.8.【2022四川巴中“零诊”】已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.B．C．D．【答案】A【解析】由图可知，，故选A.9.已知全集，集合，是的子集，且，则必有（）A.B.C.D.-9-\n【答案】A10.已知集合，则满足条件的集合的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D11.【2022湖北百所重点校高三联考】已知集合，，则的元素个数是___________．【答案】【解析】由于集合是圆心在坐标原点，半径为的圆周，集合是开口向上顶点在圆上的点上的抛物线，结合图象可知两个曲线的交点有三个.故应填.12.【2022河北唐山模拟】已知集合，则中元素的个数是（）【答案】3【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，所以，所以，故中元素的个数是3．13.已知集合，，则.【答案】-9-\n【解析】由可得，则，即，因为，所以，所以.14.【2022江西九江地区联考】设，是非空集合，定义且，已知，，则_________.【答案】【解析】，，，所以.15.设集合，，若，则实数的取值范围是.【答案】-9-
